Desafio 1

Seja a faixa  

Utilize o aplicativo de Kawasaki e decomponha o intervalo  [1 3]   usando os pontos intermediarios     .

Obtenha um valor aproximado para a área da faixa     adicionando as áreas dos retangulos inscritos nos pontos intermediários.

Copie aqui o valor que você encontrou:

Desafio 2

Repita o procedimento, subdividindo o intervalo [1 3 ] por meio de uma subdivisão "mais fina", com os valores  intermediários   

Copie o resulatado que você encontrou aqui:

Você tem alguma proposta para melhorar a aproximação do valor da área da faixa ? Explique sua resposta, argumentando geométricamente.

Coloque aqui seus argumentos:

Desafio 3

Discuta a coerência entre a sua proposta e a definição que se segue; caso perceba alguma inconsistência, modifique sua proposta, após discutir sua validade:

Coloque sua discussão aqui:

Desafio 4

Neste trabalho, estaremos restritos a polígonos como nas figuras anteriores, ou seja, união de retângulos inscritos. Isto quer dizer que a área  , onde P é o polígono inscrito em  . Use experimentação e, a partir dela, construa um argumento para me convencer desta última afirmação.

Coloque seu argumento aqui: 

Desafio 5

 é uma proposição falsa ou verdadeira?

Justifique a sua resposta.

Coloque sua resposta aqui:

Desafio 6

Sabemos que   .  Isto é, temos uma proporção. Vamos investigar se  

Utilize o aplicativo de Kawasaki e calcule as áreas de

  e   para vários números de particões e compare os resultados. Utilize a tabela abaixo para acomodar os resultados:

Escreva aqui suas conclusões:

Desafio 7

Para qualquer número real positivo x>1, defina:

Coloque aqui sua definição:

Desafio 8

Para qualquer número real positivo a>1 e b > 1, defina:

a)  

b)  

c)  

Coloque suas definições aqui:

a)

b)

c)

Desafio 9

Para qualquer número real positivo a>1 e b>1, defina:

Coloque aqui sua definição:

Desafio 10

Considere a tabela abaixo. Ela mostra os valores das areas de    para  a = 1 e  1£ b £ 9 para diferentes valores de número de partições. Os valores foram obtidos usando o aplicativo.

Complete os valores que estão faltando para os pontos (a,b) na tabela abaixo, tomando o cuidado e observar o número de partições utilizado.

Analise as diferenças obtidas pela mudança do número de partições. Qual é a consequência do aumento do número de partições?

Coloque sua resposta aqui:

Desafio 11

Considere agora a tabela abaixo, ela contém uma parte da tabela formada pela replica da coluna de 500 partições da tabela do Desafio 10, combinada com ela mesma, de forma que cada célula contém a soma de F(a) com F(b).

Localize  pelo menos três exemplos em que F(a) + F(b) = F(ab)

Coloque aqui os casos que você localizou: 

A soma das areas  é igual a área do produto

Para verificar o achado do desafio anterior, podemos partir da proposição estudada no Desafio 7, isto é,

     [1]

Podemos mostrar então que F(a) + F(b) = F(ab)

Partiremos de    [2] 

De [2] podemos escrever: 

                           [3] 

Logo, aplicando [1] em [3], teremos:

                        [4]

Analiseando o gráfico:

podemos obter uma expressão que nos dá a equivalência pela soma das áreas:

                [5]                                   

Podemos ainda escrever que:

                [6]

Combinando [3], e [5] em [4], temos:

Desafio 12

Logo,  ( faça a conclusão)

      …. (complete)

Ou

      .... (complete)

Indique aqui com suas palavras qual foi a conclusão:

Generalizando os resultados

 A propriedade acima ,  chamada propriedade fundamental das áreas das faixas das hipérboles,  que verificamos acima,  pode ser generalizada a partir da construção de uma tabela maior para diversos pontos (a,b):

Ela fornece os valores  dos pontos para os quais precisamos calcular as áreas abaixo da função hiperbólica.

Assim, para a entrada  (2,1) precisamos calcular a area de

Desafio 13

Complete os valores que estão faltando na tabela abaixo. Ela foi calculada usando o aplicativo de Kawasaki com 500 partições.

continua...

 

Desafio 14

Confirme agora os resultados, completando a tabela abaixo, que calcula os valores de F(x) + F(y) e F(xy). Analise o erro cometido observando a coluna Diferença. O erro cometido está na casa dos décimos, centésimos ou milésimos? Esse erro é satisfatório (isto é, podemos conviver com ele)?

Coloque aqui as  conclusões você tirou:

Desafio 15

O que fazer quando o produto xy ultrapassar o maior valor da tabela (10,9)?

Seria possível usar a tabela para calcular:

     a)  7 * 9 = 56? e

     b)  3456 * 2729

Proponha uma estratégia.

Descreva aqui sua estratégia:

Considerações Finais

Em 1631, o matemático Brigs compilou tabelas como esta, que ele chamou de Tábuas de Aritmética Logaritmica, baseado  no dispositivo de logaritmos que John Napier havia criado em em 1614  . Para criar a idéia de logaritmos, Napier se inspirou no método muito simples de multiplicar os senos dos ângulos por meio de adição direta:

O uso de  tábuas já eram usuais em problemas de navegação e no cálculo de juros. As tábuas de logaritmos foram uma consequência natural.

Estas descobertas foram extensivamente usadas por Tycho Brahe e Kepler para calcular as posições das estrelas no céu, que mais tarde deram permitiram os achados de Galileu e de Newton. Por isso, Newton se referiu a ter “se apoiado  no ombro de gigantes”, quando inventou a teoria da gravitação. 

    Retomando o início da nossa oficina é fácil ver agora que as réguas de cálculo nada mais são que , em última instáncia, tábuas compactas de logaritmos.

O princípio fundamental da tábua de logarítmos já havia sido compreendida por Arquimedes, que estabeleceu uma correspondência entre uma série aritmética e uma série geométrica:

Usando a propriedade da potenciação:

que numéricamente nos dá:

ou       8 x 16 = 128

O sinal log colocado na frente de um número significa “Procure na tábua a potência a que se tem de elevar a para  obter este número”.

O sinal antlog, posto na frente do número, significa “Procure na tábua, o valor da base quando elevada a potência representada por este número”.

Assim:

Desafio 16

Encontre o resultado de 2 x 16 consultando a tábua acima

Sugestão:  2 x 16 pode ser calculado com um antlog e dois logs.

Coloque aqui o resultado obtido:

Conclusão

A função logaritmica com logaítmos naturais ln(x), como propostos por Napier é a função  inversa da função exponencial . Seu uso em calculadoras e computadores permite que já não precisemos utilizar as tábuas de logaritmos. Retomando a idéia de Arquimedes, estariamos usando como base o número e. Nas calculadoras e computadores podemos calcular os valores diretamente a partir da função, sem recorrer às tábuas. Da mesma forma funções logaritmicas com outras bases podem ser usadas como a base 10 ou a base 2 

No entanto, sem a criação do conceito de algoritmo e das tábuas de logaritmos que se seguiram, certamente não teríamos hoje as calculadoras e os computadores.

Escreva no espaço abaixo oque você achou desta oficina. Aponte qualquer dificuldade que você encontrou. Indique se ficou algum ponto que ainda não está claro para você.

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Agradecemos pela sua participação nesta oficina e até a próxima!