\documentclass[12pt, a4paper]{report}

\usepackage[portuguese]{babel}
\usepackage{fullpage}

\newcounter{conta}

\begin{document}
 
\noindent {\it Fundamentos da Teoria da Computa\c{c}\~ao}
\hfill $\mbox{2}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2004 \\
\noindent Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
\noindent {\bf Terceira Lista de Exerc\'{\i}cios} \hfill Entrega: 23/11/04

\begin{enumerate}

 \item Construa APD's para as seguintes linguagens:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{(\verb+01+)^n\verb+1+(\verb+10+)^n\,\,|\,\,n\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^n\verb+1+^n0^k\,\,|\,\,n\geq 1 \mbox{ e } k\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^m\verb+1+^n\#\,\,|\,\,m\not=n\}$.
       \end{list}

 \item Construa APN's que reconhe\c cam as linguagens seguintes (usando o crit\'erio
       de reconhecimento que preferir):
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{\verb+0+^n\verb+1+^k\,\,|\,\,n\leq k\leq 2n\}$.
        \item $\{(\verb+01+)^n\verb+0+(\verb+10+)^n\,\,|\,\,n\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^m\verb+1+^n\,\,|\,\,m\not=n\}$.
       \end{list}

 \item Construa GLC's para as linguagens:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{\verb+a+^m\verb+b+^n\verb+c+^{3m+2n+1} \,\,|\,\, m,n\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+a+^n\verb+b+^{2n+k}\verb+c+^{3k} \,\,|\,\, n,k\geq 0\}$
        \item $\{\verb+a+^m\verb+b+^n\verb+c+^k \,\,|\,\, m\not=n \mbox{ ou } n\not=k\}$.
       \end{list}

 \item Seja a gram\'atica $G$:
       \begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $P$ & $\rightarrow$ & $\verb+a+ X$ \\
	 $X$ & $\rightarrow$ & $P\verb+b+ \,\,|\,\, P \verb+bb+\,\,|\,\, \lambda$
	\end{tabular}
       \end{center}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Que linguagem \'e gerada por $G$?
        \item Mostre que $G$ \'e amb\'{\i}gua.
        \item Construa uma gram\'atica n\~ao amb\'{\i}gua equivalente a $G$.
       \end{list}

 \item Construa uma GLC que gere o conjunto das express\~oes
       prefixadas\footnote{\em Prefix expressions.} com operando
       \verb+t+ e operadores \verb|+| e \verb|*|. Depois responda:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Mostre deriva\c c\~oes mais \`a esquerda e mais \`a direita, e tamb\'em
              uma \'arvore de deriva\c c\~ao para a palavra \verb|+*tt*t+tt|.
        \item A gram\'atica \'e amb\'{\i}g\"ua ou n\~ao?
       \end{list}

\
 \item Construa uma gram\'atica sem regras $\lambda$ equivalente
	\`a seguinte gra\-m\'a\-ti\-ca:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $P$ & $\rightarrow$ & $B P A \,\,|\,\, A$ \\
	 $A$ & $\rightarrow$ & $\verb+a+ A \,\,|\,\, \lambda$ \\
	 $B$ & $\rightarrow$ & $B \verb+b+ \verb+a+ \,\,|\,\, \lambda$
	\end{tabular}
	\end{center}

  \item Seja a gram\'atica $G$:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $P$ & $\rightarrow$ & $A \,\,|\,\, B C $ \\
	 $A$ & $\rightarrow$ & $B \,\,|\,\, C$ \\
	 $B$ & $\rightarrow$ & $\verb+b+ B \,\,|\,\, \verb+b+$ \\
	 $C$ & $\rightarrow$ & $\verb+c+ C \,\,|\,\, \verb+c+$ \\
	\end{tabular}
	\end{center}
	\begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
	 \item Construa uma gram\'atica equivalente a $G$, sem regras de
	       cadeias.
	 \item Mostre que a gram\'atica constru\'{\i}da cont\'em s\'{\i}mbolos
	       in\'uteis.
	\end{list}

 \item (Exerc\'{\i}cio 7.1.5 de Hopcroft, Motwani e Ullman.) Seja a gram\'atica:
	\begin{enumerate}
	 \item[\ ] $S\,\rightarrow\,\verb+a+ A \verb+a+ \,\,|\,\, \verb+b+ B
                                   \verb+b+\,\,|\,\, \lambda$
	 \item[\ ] $A\,\rightarrow\,C \,\,|\,\, \verb+a+$
	 \item[\ ] $B\,\rightarrow\,C \,\,|\,\, \verb+b+$
	 \item[\ ] $C\,\rightarrow\,C D E \,\,|\,\, \lambda$
	 \item[\ ] $D\,\rightarrow\,A \,\,|\,\, B \,\,|\,\, \verb+ab+$
	\end{enumerate}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Se existirem s\'{\i}mbolos in\'uteis, elimine-os.
        \item Elimine regras $\lambda$.
        \item Elimine regras unit\'arias.
        \item Obtenha uma GLC equivalente na forma normal de Chomsky.
       \end{list}

 \item Use o lema do bombeamento para mostrar que as seguintes linguagens n\~{a}o s\~{a}o
       livres do contexto:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{\verb+a+^{2^n} \,\,|\,\, n\geq 0\}$
        \item $\{\verb+a+^n\verb+b+^{2n}\verb+a+^n \,\,|\,\, n\geq 0\}$
       \end{list}

 \item Mostre que sim ou que n\~ao: as linguagens livres do contexto s\~ao fechadas sob
       diferen\c ca.

 \item Prove que as seguintes afirmativas s\~{a}o ou n\~ao verdadeiras, considerando
       os casos em que (i) $X$ \'e finita e (ii) $X$ \'e regular.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Se $L$ \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L-X$ \'{e} uma LLC.
        \item Se $L$ n\~{a}o \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L-X$ n\~{a}o \'{e} uma LLC.
        \item Se $L$ n\~{a}o \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L\cup X$ n\~{a}o \'{e} uma LLC.
       \end{list}

\end{enumerate}

\end{document}





