\documentclass[12pt, a4paper]{report}

\usepackage[portuguese]{babel}
\usepackage{fullpage}

\newcounter{conta}

\begin{document}
 
\noindent {\it Fundamentos da Teoria da Computa\c{c}\~ao}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2006 \\
\noindent Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
\noindent {\bf Terceira Lista de Exerc\'{\i}cios} \hfill Entrega: 06/06/05

\begin{enumerate}

 \item Para cada linguagem a seguir, construa um APD, se poss\'{\i}vel.
       Se n\~ao for poss\'{\i}vel, constua um APN (se poss\'{\i}vel).
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{(\verb+01+)^n(\verb+10+)^n\,\,|\,\,n\geq 0\}$.
        \item $\{(\verb+01+)^n\verb+0+(\verb+10+)^n\,\,|\,\,n\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^n\verb+1+^n0^k\,\,|\,\,n\geq 1 \mbox{ e } k\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^n\verb+1+^n1^k\,\,|\,\,n\geq 1 \mbox{ e } k\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+0+^m\verb+1+^n\,\,|\,\,m\not=n\}$.
        \item $\{\verb+0+^m\verb+1+^n\#\,\,|\,\,m\not=n\}$.
       \end{list}

 \item Construa GLC's para as linguagens:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{\verb+a+^{m+n+1}\verb+b+^{2n}\verb+c+^{3m} \,\,|\,\, m,n\geq 0\}$.
        \item $\{\verb+a+^n\verb+b+^{3n+2k}\verb+c+^{3k} \,\,|\,\, n,k\geq 0\}$
        \item $\{\verb+a+^m\verb+b+^n\verb+c+^k \,\,|\,\, m=n \mbox{ ou } n\not=k\}$.
       \end{list}

 \item Seja a gram\'atica $G$:
       \begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $P$ & $\rightarrow$ & $\verb+a+ X \,\,|\,\, \lambda$ \\
	 $X$ & $\rightarrow$ & $P\verb+b+ \,\,|\,\, P \verb+bb+$
	\end{tabular}
       \end{center}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Que linguagem \'e gerada por $G$?
        \item Mostre que $G$ \'e amb\'{\i}gua.
        \item Construa uma gram\'atica n\~ao amb\'{\i}gua equivalente a $G$.
       \end{list}

 \item Construa uma gram\'atica sem regras $\lambda$ equivalente
	\`a seguinte gra\-m\'a\-ti\-ca:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $P$ & $\rightarrow$ & $A B \,\,|\,\, {\tt a} B$ \\
	 $A$ & $\rightarrow$ & $B B B \,\,|\,\, \verb+a+ B \,\,|\,\, \lambda$ \\
	 $B$ & $\rightarrow$ & ${\tt a} \,\,|\,\, \verb+a+ A \,\,|\,\, \lambda$
	\end{tabular}
	\end{center}

  \item (Exerc\'{\i}cio 7.1.3 de Hopcroft, Motwani e Ullman.) Seja a gram\'atica:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{ccl}
	 $S$ & $\rightarrow$ & ${\tt 0} A {\tt 0} \,\,|\,\, {\tt 1} B {\tt 1} \,\,|\,\, B B$ \\
	 $A$ & $\rightarrow$ & $C$ \\
	 $B$ & $\rightarrow$ & $S \,\,|\,\, A$ \\
	 $C$ & $\rightarrow$ & $S \,\,|\,\, \lambda$ \\
	\end{tabular}
	\end{center}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Se existirem s\'{\i}mbolos in\'uteis, elimine-os.
        \item Elimine regras $\lambda$.
        \item Elimine regras unit\'arias.
        \item Obtenha uma GLC equivalente na forma normal de Chomsky.
       \end{list}

 \item  Seja a gram\'atica:
	\begin{enumerate}
	 \item[\ ] $P\,\rightarrow\, A A A  \,\,|\,\,  B$
	 \item[\ ] $A\,\rightarrow\,{\tt a} A \,\,|\,\, B \,\,|\,\, BC$
	 \item[\ ] $B\,\rightarrow\,\lambda$
	 \item[\ ] $C\,\rightarrow\, BC$
	\end{enumerate}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Se existirem s\'{\i}mbolos in\'uteis, elimine-os.
        \item Elimine regras $\lambda$.
        \item Elimine regras unit\'arias.
        \item Obtenha uma GLC equivalente na forma normal de Chomsky.
       \end{list}

 \item Use o lema do bombeamento para mostrar que $\{\verb+a+^{2n}\verb+b+^{2n}\verb+a+^{2n}
       \,\,|\,\, n\geq 0\}$ n\~ao \'e uma linguagem livre do contexto.

 \item Mostre que s\~ao ou que n\~ao s\~ao linguagens livres do contexto:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{w\in\{\verb+a+,\verb+b+,\verb+c+\}^* \,\,|\,\, n_a(w)<n_b(w)\}$.
        \item $\{w\in\{\verb+a+,\verb+b+,\verb+c+\}^* \,\,|\,\, n_a(w)=n_b(w)=n_c(w)\}$.
        \item $\{\verb+a+^m\verb+b+^n\verb+c+^k \,\,|\,\, m<n<k\}$.
       \end{list}

 \item Mostre que sim ou que n\~ao; as linguagens livres do contexto s\~ao fechadas sob:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Diferen\c ca.
        \item Diferen\c ca sim\'etrica.
       \end{list}

 \item Prove que as seguintes afirmativas s\~{a}o ou n\~ao verdadeiras, considerando
       os casos em que (i) $X$ \'e finita e (ii) $X$ \'e regular.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Se $L$ \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L-X$ \'{e} uma LLC.
        \item Se $L$ n\~{a}o \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L-X$ n\~{a}o \'{e} uma LLC.
        \item Se $L$ n\~{a}o \'{e} uma LLC, ent\~{a}o $L\cup X$ n\~{a}o \'{e} uma LLC.
       \end{list}

\end{enumerate}

\end{document}




