\documentclass[11pt, a4paper]{report}

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\newcounter{conta}
\usepackage{gastex}
\usepackage[usenames]{color}

\begin{document}

\vspace*{.5cm}
\noindent {\it Fundamentos da Teoria da Computa\c{c}\~ao}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2009 \\
\noindent Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
\noindent {\bf Segunda Prova} -- Turmas F e N \hfill {12/05/2009}

\vspace*{1mm}
\noindent \textbf{Dura\c{c}\~ao:} 1 hora e 30 minutos. \\
\noindent \textbf{Valor de cada quest\~ao:} 4 pontos.

\vspace*{2mm}
\noindent\framebox{\parbox{15.6cm}{\textbf{Aten\c{c}\~ao}:
Em todas as quest\~oes dever\~ao ser usados {\bf m\'etodos vistos em aula ou no livro-texto}.
Qualquer resultado, mesmo que correto, obtido de forma \emph{ad-hoc\/} n\~ao ser\'a considerado.
Assim, \'e importante que explicite os passos executados em cada solu\c{c}\~ao apresentada.}}

\begin{enumerate}
 \item Construa AFNs que reconhe\c{c}am as linguagens a seguir:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Conjunto das palavras em $\{{\tt a},{\tt b}\}^*$, com dois ou mais s\'{\i}mbolos, em que o
              \'ultimo s\'{\i}mbolo tenha alguma ocorr\^encia anterior. O AFN n\~ao pode ter mais de
              \underline{4 estados}.
        \item $(a^*b)+(b^*a)$. O AFN n\~ao pode ter mais de \underline{3 estados}.
       \end{list}

 \item Seja o AFN$\lambda$ com o diagrama de estados:

       \begin{picture}(120,45)
        \gasset{Nw=6, Nh=6, Nmr=3, fillcolor=Gray, fillgray=0.9, loopdiam=4}
        \node[Nmarks=i](1)(40,20){1}
        \node(2)(60,35){2}
        \node(3)(60,20){3}
        \node(4)(60,5){4}
        \node[Nmarks=r](5)(80,20){5}

        \drawedge(1,2){{\tt a}}
        \drawedge(1,3){$\lambda$}
        \drawedge(1,4){{\tt b}}
        \drawloop[loopangle=45](2){{\tt a}}
        \drawedge(2,3){$\lambda$}
        \drawedge(2,5){{\tt d}}
        \drawloop[loopangle=45](3){{\tt c}}
        \drawedge(3,5){{\tt c}}
        \drawloop[loopangle=315](4){{\tt b}}
        \drawedge(4,3){$\lambda$}
        \drawedge(4,5){{\tt d}}
       \end{picture}

       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Obtenha o diagrama de estados de um AFN equivalente. Ao eliminar transi\c{c}\~oes sob $\lambda$,
              n\~ao crie transi\c{c}\~oes desness\'arias.
        \item Obtenha um AFD equivalente ao AFN (o nome de cada estado do AFD deve ser um conjunto
              de estados do AFN, como preconiza o m\'etodo).
       \end{list}

 \item Sobre express\~oes regulares:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Obtenha o diagrama de estados de um AFD que reconhe\c{c}a $(00+11)^*(01+10)^*$.
        \item Obtenha uma express\~ao regular que denote a linguagem reconhecida pelo AFN:

              \begin{picture}(120,20)
               \gasset{Nw=6, Nh=6, Nmr=3, fillcolor=Gray, fillgray=0.9, loopdiam=4}

               \node[Nmarks=i, iangle=270](1)(40,7){1}
               \node[Nmarks=ir, iangle=270](2)(60,7){2}
               \node[Nmarks=r](3)(80,7){3}

               \drawloop[loopangle=90](1){{\tt a}}
               \drawedge[curvedepth=0](1,2){{\tt a}}
               \drawloop[loopangle=90](2){{\tt b}}
               \drawedge[curvedepth=3](2,3){{\tt a}}
               \drawedge[curvedepth=3](3,2){{\tt c}}
               \drawloop[loopangle=90](3){{\tt b}}
              \end{picture}

              \underline{Importante}: (i) ordem de elimina\c{c}\~ao de estados: 1, 3, 2; (ii)
              n\~ao simplifique a express\~ao.
       \end{list}

 \item Prove que $\{{\tt a}^ny\,|\, y\in\{{\tt a},{\tt b}\}^* \mbox{ e } |y|<n\}$ n\~ao \'e uma linguagem regular.
\end{enumerate}

\vspace*{.5mm}
\hrule

\vspace*{.5mm}
\hrule
\vspace*{2mm}
\noindent\framebox{\parbox{15.6cm}{
 AFN$\lambda$: aut\^omato finito n\~ao determin\'{\i}stico com transi\c{c}\~ao $\lambda$; \\
 AFN: aut\^omato finito n\~ao determin\'{\i}stico (sem transi\c{c}\~ao $\lambda$); \\
 AFD: aut\^omato finito determin\'{\i}stico.
}}
\end{document}
