\documentstyle[12pt]{artigo}
 
\newcounter{conta}
\newcounter{conta2}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
 
\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o
\hfill DCC/ICEx/UFMG
 
\noindent {\it Fundamentos da Teoria da Computa\c{c}\~ao}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 1995
 
\noindent Professor: Newton Jos\'{e} Vieira
 
\noindent \underline{Primeira Prova} \hfill 30/03/95
 
\begin{description}
 \item[Dura\c{c}\~{a}o:] 1 hora e 30 minutos.
 \item[Valores das quest\~{o}es:] quest\~{a}o 1: 4 pontos; quest\~{a}o 3: 6
      pontos; quest\~{o}es restantes: 5 pontos cada uma.
\end{description}
 
\vspace*{3mm}
\begin{enumerate}
 \item Fa\c{c}a uma defini\c{c}\~ao recursiva do {\it conjunto de ancestrais
       de um nodo\/} $x$ de uma \'arvore $(N,A,r)$ (lembre-se que, para nossos
       prop\'{o}sitos, $x$ \'e ancestral de si mesmo).
 
 \item Prove, por indu\c{c}\~ ao, que uma \'arvore estritamente $k$-\'aria de
       $n$ folhas tem \[(kn-1)/(k-1)\] nodos. (Uma \'arvore estritamente
       $k$-\'aria \'{e} aquela em que cada nodo tem, ou zero, ou $k$ filhos.)
 
 \item Construa express\~oes regulares para cada um dos seguintes conjuntos:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{w \in \{a,b,c\}^* \,\,|\,\, \mbox{os $a$'s (se houver) de $w$
	       precedem os $b$'s (se houver)}\}\mbox{;}$
        \item $\{w \in \{a,b\}^* \,\,|\,\, \mbox{$w$ tem apenas $1$ ou $2$
	          $a$'s}\}\mbox{;}$
        \item $\{w \in \{a,b,c\}^* \,\,|\,\, \mbox{o n\'umero total de $a$'s
	       e/ou $b$'s em $w$ \'e m\'{u}ltiplo de $2$}\}\mbox{;}$
        \item $\{w \in \{a,b\}^* \,\,|\,\, \mbox{$w$ n\~ao cont\'em o
	       {\it substring\/} $aaa$}\}\mbox{.}$
       \end{list}
 
 \item Construa uma gram\'atica sobre $\{a,b,c\}$ cuja linguagem seja
       \[\{a^ib^jc^k \,\,|\,\, j>i+k\}\mbox{.}\]
 
 \item Seja $G$ a gram\'atica
       \begin{center}
       \begin{tabular}{ccl}
        $S$ & $\rightarrow$ & $A B$ \\
        $A$ & $\rightarrow$ & $a A b \,\,|\,\, c$ \\
        $B$ & $\rightarrow$ & $b B c \,\,|\,\, a$ \\
       \end{tabular}
       \end{center}
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Construa uma deriva\c{c}\~ao mais a esquerda de $a c b b b a c c$.
	\item Construa a \'arvore de deriva\c{c}\~ao para a deriva\c{c}\~ao
	      constru\'{\i}da em (a).
	\item Defina $L(G)$ utilizando nota\c{c}\~ao de conjunto.
       \end{list}
\end{enumerate}
 
\end{document}
\endinput
\end
 
 