\documentclass[11pt, a4paper]{report}

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\begin{document}
\begin{center}\Large\bf
 Soluções da Lista 2
\end{center}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\large\bf Seção 2.2: A linguagem proposicional
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
 \item[1.] 
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Jo\~ao \'e pol\'{\i}tico mas \'e honesto.

              $p$: Jo\~ao \'e pol\'{\i}tico; $h$: Jo\~ao \'e honesto. \\
              $p\wedge h$.

        \item Jo\~ao \'e honesto, mas seu irm\~ao n\~ao \'e.

              $h$: Jo\~ao \'e honesto; $i$: o irmão de João é honesto.\\
              $h\wedge \neg i$.
              
        \item Vir\~ao \`a festa Jo\~ao ou sua irm\~a, al\'em da m\~ae.

              $j$: Jo\~ao virá à festa; $i$: A irmã de Jo\~ao virá à festa; $m$: A mãe de Jo\~ao virá à festa. \\
              $(j\vee i)\wedge m$.

        \item A estrela do espet\'aculo n\~ao canta, dan\c ca, nem representa.

              A estrela do espetáculo: \\
              \hspace*{4mm}$c$: canta; $d$: dança; $r$: representa. \\
              $\neg c \wedge \neg d\wedge \neg r$.

        \item Sempre que o trem apita, Jo\~ao sai correndo.

              $a$: o trem apita; $c$: João sai correndo.\\
              $a\rightarrow c$.
              
        \item Caso Jo\~ao n\~ao perca o dinheiro no jogo, ele vai \`a feira.

              $p$: João perde dinheiro no jogo; $f$: João vai à feira.\\
              $\neg p\rightarrow f$.

        \item Jo\~ao vai ser multado, a menos que diminua a velocidade ou
              a rodovia n\~ao tenha radar.

              $m$: João vai ser multado; $d$: João diminui a velocidade; $r$: há radar na rodovia.\\
              $m\leftrightarrow (\neg d\wedge r)$, ou então $\neg m\leftrightarrow (d\vee \neg r)$.

        \item Uma condi\c c\~ao suficiente para que $n$ seja \'{\i}mpar, \'e
              que seja primo.

              $i$: $n$ é ímpar; $p$: $n$ é primo.\\
              $p\rightarrow i$.

        \item Jo\~ao vai ao teatro somente se estiver em cartaz uma com\'edia.

              $t$: João vai  ao teatro; $c$: há uma comédia em cartaz.\\
              $t\rightarrow c$.

        \item Se voc\^e for brasileiro, gosta de futebol, desde que n\~ao
              tor\c ca para o Tabajara.

              $b$: você é brasileiro; $f$: você gosta de futebol; $t$: você torce para o Tabajara.\\
              $b\rightarrow (\neg t\rightarrow f)$, ou então $(b\wedge\neg t)\rightarrow f$.

        \item A propina ser\'a paga exatamente nas situa\c c\~oes em que
              o deputado votar como instru\'{\i}do pelo Jo\~ao.

              $p$: a propina ser\'a paga; $v$: o deputado vota como instru\'{\i}do pelo Jo\~ao.\\
              $p\leftrightarrow v$.

        \item Se Jo\~ao testemunhar e disser a verdade, ele ser\'a
              absolvido, mas se Jo\~ao n\~ao testemunhar, ele n\~ao
              ser\'a absolvido.

              $t$: João testemunha; $v$: João diz a verdade; $a$: João é absolvido.\\
              $((t \wedge v)\rightarrow a)\wedge(\neg t\rightarrow \neg a)$.

        \item Se, mas somente se, Jo\~ao n\~ao peder o dinheiro no jogo,
              ele ir\'a pagar o que lhe deve.

              $p$: João perde dinheiro no jogo; $d$: Jo\~ao paga o que deve.\\
              $\neg p\leftrightarrow d$.

        \item Se Jo\~ao for ao circo ou ao futebol hoje, ele estar\'a
              sem dinheiro amanh\~a. 

              $c$: João vai ao circo; $f$: João vai ao futebol; $d$: João estará com dinheiro amanhã.\\
              $(c \vee f)\rightarrow \neg d$.

       \end{list}

 \item[2.] Sejam $i$: mordomo é inocente, $c$: mordomo é culpado, $m$: testemunha mentiu,
           $t$: mordomo tem cúmplice. Seguem as fórmulas:
      \begin{itemize}
       \item $i\vee c$
       \item $i\rightarrow m$
       \item $t\rightarrow \neg m$
       \item $(m\vee\neg m) \rightarrow t$
      \end{itemize}


 \item[3.]\begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $(p\rightarrow (q\rightarrow \bot))$
        \item $(((\neg p_1)\wedge p_2)\rightarrow (q_1\vee (q_2\vee q_3)))$
        \item $((p_1\vee p_2)\leftrightarrow ((\neg q_1)\wedge q_2))$
        \item $(p_1\leftrightarrow p_2(\rightarrow (p_3\vee (p_4\wedge p_5))))$
        \item $((\neg(\top\wedge(\neg\bot)))\leftrightarrow(\top\rightarrow(\bot\vee\top)))$
       \end{list}
\end{enumerate}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\large\bf Subseção 2.3.1: O significado das fórmulas
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
 \item[1.] Pela Definição 3: $v^i(\alpha\leftrightarrow\beta)=\textit{fb}_{\leftrightarrow}(v^i(\alpha),v^i(\beta))$. Assim, pela Definição 2, $v^i(\alpha\leftrightarrow\beta)=V$ se, e somente se, $v^i(\alpha)=v^i(\beta)$. Considere os dois casos:
 \begin{enumerate}
  \item $v^i(\alpha)=v^i(\beta)$. Neste caso, $v^i((\alpha\rightarrow\beta)\wedge(\beta\rightarrow\alpha))=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\rightarrow}(v^i(\alpha),v^i(\beta)),\textit{fb}_{\rightarrow}(v^i(\beta),v^i(\alpha)))=\textit{fb}_{\wedge}(V,V)=V$, pois $\textit{fb}_{\rightarrow}(V,V)=\textit{fb}_{\rightarrow}(F,F)=V$.
  \item $v^i(\alpha)\not=v^i(\beta)$. Neste caso, $v^i((\alpha\rightarrow\beta)\wedge(\beta\rightarrow\alpha))=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\rightarrow}(v^i(\alpha),v^i(\beta)),\textit{fb}_{\rightarrow}(v^i(\beta),v^i(\alpha)))$, sendo esta última igual a $\textit{fb}_{\wedge}(V,F)$ ou a $\textit{fb}_{\wedge}(F,V)$, já que $\textit{fb}_{\rightarrow}(V,F)=F$ e $\textit{fb}_{\rightarrow}(F,V)=V$. Assim, de qualquer forma, $v^i((\alpha\rightarrow\beta)\wedge(\beta\rightarrow\alpha))=F$.
 \end{enumerate}
Portanto, $v^i(\alpha\leftrightarrow\beta)=v^i((\alpha\rightarrow\beta)\wedge(\beta\rightarrow\alpha))$.

 \item[2.] Fun\c{c}\~ao booleana para ``ou exclusivo'':
           \begin{quote}
            \begin{tabular}{|c|cc|}\hline
             $\mathit{fb}_{\oplus}$ & $V$ & $F$ \\ \hline
             $V$ & $F$ & $V$ \\
             $F$ & $V$ & $F$ \\ \hline
            \end{tabular}
           \end{quote}
 
       Expressão do ``ou exclusivo'' como uma composi\c{c}\~ao das outras fun\c{c}\~oes
       boolenas vistas:
       \begin{quote}
        $\textit{fb}_{\oplus}(x,y)=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\vee}(x,y),
         \textit{fb}_{\neg}(\textit{fb}_{\wedge}(x,y)))$ .
       \end{quote}

 \item[3.] Valores l\'ogicos para $i$ em que $i(p)=V$, $i(q)=F$ e $i(r)=V$:
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item \begin{tabbing}
               $v^i[(\neg p\vee q)\wedge r]$\= \kill
               $v^i[(\neg p\vee q)\wedge r]$\>
                $=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\vee}(\textit{fb}_{\neg}(i(p)),i(q)),i(r))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\vee}(\textit{fb}_{\neg}(V),F),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\vee}(F,F),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\wedge}(F,V)$ \\
                \>$=F$
              \end{tabbing}
        \item \begin{tabbing}
               $v^i[(\neg p\rightarrow \neg\neg p)\rightarrow p]$\= \kill
               $v^i[(\neg p\rightarrow \neg\neg p)\rightarrow p]$\>
                $=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\neg}(i(p)),\textit{fb}_{\neg}
                 (\textit{fb}_{\neg}(i(p)))),i(p))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\neg}(V),\textit{fb}_{\neg}
                 (\textit{fb}_{\neg}(V))),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(F,\textit{fb}_{\neg}(F)),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(F,V),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(V,V)$ \\
                \>$=V$
              \end{tabbing}
        \item \begin{tabbing}
               $v^i[((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p]$\= \kill
               $v^i[((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p]$\>
                $=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\rightarrow}(i(p),i(q)),i(q)),i(p))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\rightarrow}(V,F),F),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\wedge}(F,F),V)$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(F,V)$ \\
                \>$=V$
              \end{tabbing}
        \item \begin{tabbing}
               $v^i[((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p]$\= \kill
               $v^i[((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p]$\>
           $=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\leftrightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(i(q),i(p)),i(q)),i(p))$\\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\leftrightarrow}(\textit{fb}_{\rightarrow}(F,V),F),V)$\\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\leftrightarrow}(V,F),V)$\\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(F,V)$\\
                \>$=V$\\
              \end{tabbing}
        \item \begin{tabbing}
               $v^i[((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow$\= \kill
               $v^i[((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow (\neg q\wedge(p\vee r))]$\\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\vee}(\textit{fb}_{\rightarrow}(i(p),i(q)),i(r)),
                 \textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\neg}(i(q)),\textit{fb}_{\vee}(i(p),i(r))))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\vee}(\textit{fb}_{\rightarrow}(V,F),V),
                 \textit{fb}_{\wedge}(\textit{fb}_{\neg}(F),\textit{fb}_{\vee}(V,V)))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\vee}(F,V),\textit{fb}_{\wedge}(V,V))$ \\
                \>$=\textit{fb}_{\rightarrow}(V,V)$ \\
                \>$=V$ \\
              \end{tabbing}
       \end{list}

 \item[4.] Já que $i(p)\in\{V,F\}$:

           \textit{Caso 1}: $i(p)=V$. Como $v^i(p\rightarrow\beta)=V$ e
            $v^i(p\rightarrow\beta)=\textit{fb}_{\rightarrow}(i(p),v^i(\beta))
            =\textit{fb}_{\rightarrow}(V,v^i(\beta))$, segue-se que $v^i(\beta)=V$.
            
           \textit{Caso 2}: $i(p)=F$. Como $v^i(\neg p\rightarrow\gamma)=V$ e
            $v^i(\neg p\rightarrow\gamma)=\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\neg}(i(p)),v^i(\gamma))
            =\textit{fb}_{\rightarrow}(\textit{fb}_{\neg}(F),v^i(\gamma))=\textit{fb}_{\rightarrow}(V,v^i(\gamma))$,
            segue-se que $v^i(\gamma)=V$.
            
            Como $v^i(\beta\vee\gamma)=\textit{fb}_{\vee}(v^i(\beta),v^i(\gamma))$ e $v^i(\beta)=V$ ou $v^i(\gamma)=V$,
            conclui-se que $v^i(\beta\vee\gamma)=V$.

 \item[5.] \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Como $v^i(p\rightarrow \top)=V$ para qualquer $i(p)$, segue-se que
              $v^i[(p\rightarrow \bot)\vee (p\rightarrow \top)]=V$ para para qualquer $i(p)$.
        \item $v^i[\neg(p\vee q)\rightarrow (p\rightarrow \bot)]=F$ se, e somente se, $v^i[\neg(p\vee q)]=V$ e
              $v^i[p\rightarrow \bot]=F$. Como $v^i[p\rightarrow \bot]=F$ se, e somente se, $i(p)=V$ e, neste caso,
              $v^i[\neg(p\vee q)]=F$ independentemente do valor de $i(q)$, conclui-se
              que $v^i[\neg(p\vee q)\rightarrow (p\rightarrow \bot)]=V$ para quaisquer $i(p)$ e $i(q)$.
        \item $v^i[(p\vee q)\rightarrow (p\rightarrow q)]=V$ se $i(q)=V$. \\
              $v^i[(p\vee q)\rightarrow (p\rightarrow q)]=F$ se $i(q)=F$ e $i(p)=V$.
        \item $v^i[(p\wedge q)\rightarrow (p\leftrightarrow q)]=F$ se, e somente se, $v^i[p\wedge q]=V$ e
              $v^i[p\leftrightarrow q]=F$. Mas $v^i[p\wedge q]=V$ se, e somente se, $i(p)=V$ e $i(q)=V$; e
              neste caso, $v^i[p\leftrightarrow q]=V$. Logo, $v^i[(p\wedge q)\rightarrow (p\leftrightarrow q)]=V$ para
              quaisquer $i(p)$ e $i(q)$.
        \item $v^i[(p\leftrightarrow q)\rightarrow (p\wedge q)]=F$ se $i(p)=i(q)=F$.
              $v^i[(p\leftrightarrow q)\rightarrow (p\wedge q)]=V$, caso contrário.
       \end{list}
\end{enumerate}

\end{document}
