\documentclass[11pt, a4paper]{report}

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\pagestyle{empty}
\newcounter{conta}

\begin{document}

\noindent {\it Lógica Aplicada a Computação} \hfill  2o semestre/2011 \\
Professor: Newton José Vieira  \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
Lista do Monteiro/\textbf{Solução do Newton}

\vspace*{2mm}
\begin{enumerate}
 \item Em uma tabela-verdade existem $2^n$ linhas (pois cada uma das $n$ variáveis recebe um de dois valores). Como para cada linha o
       valor da fórmula pode ser um de dois valores, existem $2^{2^n}$ tabelas.

 \item Supondo que $p(x)$ signifique \emph{x é perfeito} e que $a(x)$ signifique \emph{x é meu amigo}:
 
       (a) $\neg\exists x p(x)$; (b) $\neg \forall x p(x)$; (c) $\forall x (a(x)\rightarrow p(x))$; (d) $\exists x (a(x)\wedge p(x))$; 

 \item \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Alguém enviou e-email.
        \item Alguém enviou e-email para todos.
        \item Todos enviaram e-email.
        \item Alguém recebeu e-email de todos.
        \item Todos receberam e-email.
        \item Todos enviaram e-email para todos.
       \end{list}
 \item Se o número de cartas na mesa não for 64, a seleção é incorreta: virar zero cartas (existem outras
       condições que garantem que a seleção é incorreta sem necessidade virar cartas). Caso contrário:
       \begin{list}{\arabic{conta}:}{\usecounter{conta}}
        \item virar as azuis (que estão com face para baixo), enquanto aparecer apenas J, Q e K, no máximo 12 cartas;
              se virar número ou ao final sobrar azul: seleção incorreta;
        \item virar as com número (que estão com com face para cima) enquanto não aparecer azul, no máximo 40 cartas;
              se aparecer azul ou ao final sobrar número, seleção incorreta.
       \end{list}
       Passado esse processo, ficarão 40 vermelhas com face para baixo e as 24 figuras com face
       para cima: a seleção é correta.
 \item (a) João e Maria não mentem no mesmo dia e (b) só dizem ambos a verdade no domingo, e neste dia Maria
       estaria mentido se dissesse que mentiu sábado. De (a) e (b) conclui-se que um está dizendo a
       verdade e o outro não. Isto só pode ocorrer na 5a-feira: João diz a verdade quando diz que mentiu na 4a-feira,
       e Maria mente quando diz que mentiu na 4a-feira.
 \item Se A dissesse a verdade, então, segundo o que diz todos seriam mentirosos, inclusive A. Logo, A é mentiroso.
       Se o que B diz é mentira, então, já que A também é mentiroso, os três estão mentindo; mas isso implica
       que A diz a verdade. Logo, B só pode estar falando a verdade e, portanto, além de A, C é mentiroso. Isso é
       consistente com o que C diz. Conclusão: A e C são mentirosos e B fala a verdade.
 \item Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 e 18 (facilmente obteníveis de
       $1\times 2\times 2\times 3\times 3$). Situações em que o produto das idades é 36, com as respectivas somas:
       \begin{center}
       \begin{tabular}{ccc|c}
        \multicolumn{3}{c|}{Prod = 36} & Soma \\ \hline
        1 & 1 & 36 & 38 \\
        1 & 2 & 18 & 21 \\
        1 & 3 & 12 & 16 \\
        1 & 4 &  9 & 14 \\
        1 & 6 &  6 & 13 \\
        2 & 2 &  9 & 13 \\
        2 & 3 &  6 & 11 \\
        3 & 3 &  4 & 10
       \end{tabular}
       \end{center}
       Como a soma é insuficiente para inferência das idades, então elas só podem ser 1, 6 e 6 ou 2, 2 e 9 (soma 13). Como uma é mais velha que as outras,
       conclui-se que as idades são 2, 2  e 9.
 \item No início, não há como cada um saber se seu boné é branco ou não: ele sabe que os bonés dos outros dois são
       brancos, mas o dele pode ser preto ou branco; no entanto, ele sabe que se o boné dele for preto, um dos outros
       dois (ou os dois) levanta a mão com certeza absoluta que seu boné é branco. Assim, dado que ``após alguns
       minutos'' um deles levantou a mão, só pode ser porque ele, vendo que nenhum dos outros dois levantou a mão,
       o que aconteceria se seu boné fosse preto, concluiu então que seu boné era branco.
 \item A seguir, a notação $k-i$ indica que deve-se colocar $k$ no prato dos pesos e $i$ no prato da mercadoria;
       $k+i$ indica que deve-se colocar $k$ no prato dos pesos e $i$ também.
       Com os pesos 1, 3, 9 e 27 pode-se pesar mercadorias com valores de 1 a 40:
       \begin{itemize}
	      \item Com o peso 1: 1;
	      \item Adicionando-se o peso 3: $2=3-1$, 3, e $4=3+1$, sendo 1 como acima.
	      \item Adicionando-se o peso 9: $5\mbox{ a }8=9-i$, 9, e $10\mbox{ a }13=9+i$, sendo $i$ de 1 a 4 como acima;
	      \item Adicionando-se o peso 27: $14\mbox{ a }26=27-i$, 27, e $28\mbox{ a }40=27+i$, sendo $i$ de 1 a 13
	            como acima.
       \end{itemize}
       
 \item Na situação descrita tem-se pelo menos duas \emph{inconsistências}:
       \begin{itemize}
        \item A viu B, B viu F e D viu ambos A e F (é impossível os quatro estarem na biblioteca ao mesmo
              tempo sem que também B tivesse visto D ou vice-versa ou que A tivesse visto F ou vice-versa);
        \item A viu E, E viu C e C viu D e D viu A (é impossível os quatro estarem na biblioteca ao mesmo
              tempo sem que também A tivesse visto C ou vice-versa ou que D tivesse visto E ou vice-versa).
       \end{itemize}
       Notando que apenas A e D são comuns a ambas, um dos dois deve estar mentindo. A única opção para retratação
       com relação ao dizem A e D que restabelece a consistência é a de que D viu A. Logo, D mente quando diz que viu A.
       Portanto, D é o ladrão.
\end{enumerate}

\end{document}
