\documentclass[11pt, a4paper]{report}

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\begin{document}
\begin{center}\Large\bf
 Soluções da Lista 4
\end{center}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\large\bf Subseção 2.3.2: Avaliação de fórmulas no nível conceitual
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
 \item[1.]
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\{(\neg p\vee q)\wedge r,\neg p\vee q,r,\neg p,q,p\}$
        \item $\{(\neg p\rightarrow \neg\neg p)\rightarrow p,\neg p\rightarrow \neg\neg p,p,\neg p, \neg\neg p\}$
        \item $\{((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p,(p\rightarrow q)\wedge q,p,p\rightarrow q,q\}$
        \item $\{((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p,(q\rightarrow p)\leftrightarrow q,p,
              q\rightarrow p,q\}$
        \item $\{((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow (\neg q\wedge(p\vee r)),(p\rightarrow q)\vee r,
               \neg q\wedge(p\vee r),p\rightarrow q,r,p,q,\neg q,p\vee r\}$
       \end{list}
 \item[2.] \ 
 
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          \node(0)(40,50){$(\neg p\vee q)\wedge r$}
          \node[Nw=12](11)(25,40){$\neg p\vee q$}
          \node(12)(55,40){$r$}
          \node[Nw=6](21)(15,30){$\neg p$}
          \node[Nw=6](22)(35,30){$q$}
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          \put(10,50){\makebox(0,0){\normalsize b)}}
          \node(0)(40,50){$(\neg p\rightarrow \neg\neg p)\rightarrow p$}
          \node[Nw=12](1)(25,40){$\neg p\rightarrow \neg\neg p$}
          \node[Nw=6](2)(35,30){$\neg\neg p$}
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          \put(10,40){\makebox(0,0){\normalsize c)}}
          \node(0)(50,40){$((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p$}
          \node[Nw=12](1)(35,30){$(p\rightarrow q)\wedge q$}
          \node[Nw=6](2)(25,20){$p\rightarrow q$}
          \node[Nw=6](31)(15,10){$p$}
          \node[Nw=6](32)(35,10){$q$}

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          \put(10,40){\makebox(0,0){\normalsize d)}}
          \node(0)(50,40){$((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p$}
          \node[Nw=12](1)(35,30){$(q\rightarrow p)\leftrightarrow q$}
          \node[Nw=6](2)(25,20){$q\rightarrow p$}
          \node[Nw=6](31)(15,10){$q$}
          \node[Nw=6](32)(35,10){$p$}

          \drawedge(1,0){}
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          \put(10,40){\makebox(0,0){\normalsize c)}}
          \node(0)(50,40){$((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee r))$}
          \node[Nw=12](11)(35,30){$(p\rightarrow q)\vee r$}
          \node[Nw=12](12)(55,30){$\neg q\wedge(p\vee r)$}
          \node[Nw=6](21)(25,20){$p\rightarrow q$}
          \node[Nw=6](22)(45,20){$\neg q$}
          \node[Nw=6](23)(65,20){$p\vee r$}
          \node[Nw=6](31)(15,10){$p$}
          \node[Nw=6](32)(35,10){$q$}
          \node[Nw=6](33)(75,10){$r$}

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        \end{picture}
       }

 \item[3.] Supondo $i(p)=V$, $i(q)=F$, $i(r)=V$:
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\alpha=(\neg p\vee q)\wedge r$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q,r\}$. Nos dois passos executados pelo ``enquanto''
              (variáveis na ordem $q$, $p$):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=q$; \\
                     $\textsf{val}[q]=F$;
               \item[(2)] $\nu=p$; \\
                     $\textsf{val}[p]=V$, $\textsf{val}[\neg p]=F$, $\textsf{val}[\neg p\vee q]=F$,
                     $\textsf{val}[\alpha]=F$.
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=(\neg p\rightarrow\neg\neg p)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; \\
                     $\textsf{val}[p]=V$, $\textsf{val}[\alpha]=V$.
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; \\
                     $\textsf{val}[p]=V$, $\textsf{val}[\alpha]=V$.
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; \\
                     $\textsf{val}[p]=V$, $\textsf{val}[\alpha]=V$.
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee r))$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q,r\}$. Nos dois passos executados pelo ``enquanto''
              (variáveis na ordem $r$, $q$):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=r$; \\
                     $\textsf{val}[r]=V$, $\textsf{val}[(p\rightarrow q)\vee r]=V$, $\textsf{val}[p\vee r]=V$;
               \item[(2)] $\nu=q$; \\
                     $\textsf{val}[q]=F$, $\textsf{val}[\neg q]=V$, $\textsf{val}[\neg q\wedge(p\vee r)]=V$,
                     $\textsf{val}[\alpha]=V$.
              \end{enumerate}
       \end{list}
\end{enumerate}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\large\bf Subseção 2.3.3: Avaliação de fórmulas no nível formal
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
 \item[1.] Supondo $i(p)=V$, $i(q)=F$, $i(r)=V$:
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $\alpha=(\neg p\vee q)\wedge r$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q,r\}$. Nos dois passos executados pelo ``enquanto''
              (variáveis na ordem $q$, $p$):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=q$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$(\neg p\vee \bot)\wedge r$ \=$\Rightarrow\;\neg p\wedge r$x\=\kill
	                      \>$(\neg p\vee \bot)\wedge r$ \>$\Rightarrow\;\neg p\wedge r$ \>(\textsf{disj4})
                     \end{tabbing}
               \item[(2)] $\nu=p$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$\neg \top\wedge r$ \=$\Rightarrow\;\bot\wedge r$x\=\kill
	                      \>$\neg \top\wedge r$ \>$\Rightarrow\;\bot\wedge r$ \>(\textsf{neg1}) \\
	                      \>                    \>$\Rightarrow\;\bot$         \>(\textsf{conj3})
                     \end{tabbing}
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=(\neg p\rightarrow\neg\neg p)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$(\neg\top\rightarrow\neg\neg \top)\rightarrow \top$ \=$\Rightarrow\;\top$x\=\kill
	                      \>$(\neg\top\rightarrow\neg\neg \top)\rightarrow \top$ \>$\Rightarrow\;\top$ \>(\textsf{cond2})
                     \end{tabbing}
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((p\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$((\top\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow \top$ \=$\Rightarrow\;\top$x\=\kill
	                      \>$((\top\rightarrow q)\wedge q)\rightarrow \top$ \>$\Rightarrow\;\top$ \>(\textsf{cond2})
                     \end{tabbing}
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((q\rightarrow p)\leftrightarrow q)\rightarrow p$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q\}$. No único passo executados pelo ``enquanto''
              (variável $p$ primeiro):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=p$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$((q\rightarrow \top)\leftrightarrow q)\rightarrow \top$ \=$\Rightarrow\;\top$x\=\kill
	                      \>$((q\rightarrow \top)\leftrightarrow q)\rightarrow \top$ \>$\Rightarrow\;\top$ \>(\textsf{cond2})
                     \end{tabbing}
              \end{enumerate}
        \item $\alpha=((p\rightarrow q)\vee r)\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee r))$. \\
              \textsf{vars} \'e inicializado com $\{p,q,r\}$. Nos dois passos executados pelo ``enquanto''
              (variáveis na ordem $r$, $q$):
              \begin{enumerate}
               \item[(1)] $\nu=r$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$((p\rightarrow q)\vee \top)\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee \top))$ \=$\Rightarrow\;
	                                     \top\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee \top))$x\=\kill
	                      \>$((p\rightarrow q)\vee \top)\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee \top))$ \>$\Rightarrow\;
	                                     \top\rightarrow(\neg q\wedge(p\vee \top))$ \>(\textsf{disj2}) \\
	                      \>               \>$\Rightarrow\;\top\rightarrow(\neg q\wedge\top)$ \>(\textsf{disj2}) \\
	                      \>               \>$\Rightarrow\;\top\rightarrow\neg q$ \>(\textsf{conj2})
                     \end{tabbing}
               \item[(2)] $\nu=q$; simplificações:
   	                 \begin{tabbing}
	                    xx\=$\top\rightarrow\neg \bot$ \=$\Rightarrow\;\top\rightarrow\top$x\=\kill
	                      \>$\top\rightarrow\neg \bot$ \>$\Rightarrow\;\top\rightarrow\top$ \>(\textsf{neg2}) \\
	                      \>                    \>$\Rightarrow\;\top$         \>(\textsf{cond2})
                     \end{tabbing}
              \end{enumerate}
       \end{list}

 \item[3.] Um conjunto de regras não redundante é aquele constituído das dez regras \textsf{neg1}, \textsf{neg2},
       \textsf{conj1}, \textsf{conj3}, \textsf{disj1}, \textsf{disj3}, \textsf{cond1}, \textsf{cond3}, \textsf{bic1} e
       \textsf{bic3}. Observe que, neste caso, uma regra é aplicável a partir de uma subfórmula $\alpha\circ\beta$,
       sendo $\circ\in\{\wedge,\vee, \rightarrow,\leftrightarrow\}$ somente se $\alpha$ é $\top$ ou $\bot$; ou seja,
       se $\alpha$ não é $\top$ ou $\bot$, ele tem que ser avaliado (simplificado) antes até que se torne $\top$
       ou $\bot$. O algoritmo da Figura 2.9 continua funcionando, mas (a) o processo de verificar se alguma regra
       é aplicável torna-se mais simples (basta ver, para cada conectivo mais interno da fórmula, se do lado esquerdo
       há $\top$ ou $\bot$), e (b) para certas fórmulas a derivação de $\top$ ou $\bot$ torna-se mais longa (por exemplo,
       de $\alpha\vee\top$, sendo $\alpha$ uma fórmula ``muito grande'', deriva-se imediatamente $\top$ pela regra
       \textsf{disj2}; tendo apenas as regras \textsf{disj1} e \textsf{disj3} para lidar com o conectivo $\vee$,
       $\alpha$ deve ser simplificada até que uma dessas duas regras seja aplicável).

 \item[5.] Deriva-se a partir de $(\top\rightarrow\bot)\vee((\neg \top\rightarrow \bot)\wedge\neg \top)$:
       \begin{enumerate}
        \item[(1)] por \textsf{cond1}: $\bot\vee((\neg \top\rightarrow \bot)\wedge\neg \top)$;
        \item[(2)] por \textsf{cond4}: $\neg\top\vee((\neg \top\rightarrow \bot)\wedge\neg \top)$;
        \item[(3)] por \textsf{neg1}: $(\top\rightarrow\bot)\vee((\bot\rightarrow \bot)\wedge\neg \top)$
        \item[(4)] por \textsf{cond4}: $(\top\rightarrow\bot)\vee(\neg\neg \top\wedge\neg \top)$; e
        \item[(5)] por \textsf{neg1}: $(\top\rightarrow\bot)\vee((\neg \top\rightarrow \bot)\wedge\bot)$.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\large\bf Subseção 2.3.4: Equival\^encia l\'ogica
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
 \item[1.]
       \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Tabela da verdade:
              \begin{center}
               \begin{tabular}{|cc||c||c|c|c|c||c||} \hline
                $p$ & $q$ & $p\leftrightarrow q$ & $p\wedge q$ & $\neg p$ & $\neg q$ & $\neg p\wedge\neg q$ & 
                                                $(p\wedge q) \vee (\neg p\wedge \neg q)$ \\ \hline
                $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $V$ \\
                $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ \\
                $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $F$ \\
                $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ \\\hline
               \end{tabular}
              \end{center}
              Logo, $v^i(p \leftrightarrow q)=v^i((p\wedge q) \vee (\neg p\wedge \neg q))$ para toda $i$ e,
              portanto, $p \leftrightarrow q\equiv (p\wedge q) \vee (\neg p\wedge \neg q)$.

        \item Tabela da verdade:
              \begin{center}
               \begin{tabular}{|cc||c||c|c|c|c||c||} \hline
                $p$ & $q$ & $p\leftrightarrow q$ & $\neg p$ & $\neg p\vee q$ & $\neg q$ & $p\vee\neg q$ & 
                                                $(\neg p\vee q) \wedge (p\vee \neg q)$ \\ \hline
                $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ \\
                $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ \\
                $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ & $F$ \\
                $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ \\\hline
               \end{tabular}
              \end{center}
              Logo, $v^i(p \leftrightarrow q)=v^i((\neg p\vee q) \wedge (p\vee \neg q))$ para toda $i$ e,
              portanto, $p \leftrightarrow q \equiv (\neg p\vee q) \wedge (p\vee \neg q)$.
        \item Tabela da verdade:
              \begin{center}
               \begin{tabular}{|cc|c||c||c|c|c|c||c||} \hline
                $p$ & $q$ & $p\leftrightarrow q$ & $\neg(p\leftrightarrow q)$ & $\neg p$ & $\neg p\wedge q$ & $\neg q$ & $p\wedge\neg q$ & 
                                                $(\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ \\ \hline
                $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ \\
                $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ \\
                $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ \\
                $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ \\\hline
               \end{tabular}
              \end{center}
              Logo, $v^i(\neg(p \leftrightarrow q))=v^i((\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q))$ para toda $i$ e,
              portanto, $\neg(p \leftrightarrow q) \equiv (\neg p\wedge q)\vee (p\wedge \neg q)$.
        \item Tabela da verdade:
              \begin{center}
               \begin{tabular}{|cc|c||c||c|c|c|c||c||} \hline
                $p$ & $q$ & $p\leftrightarrow q$ & $\neg(p\leftrightarrow q)$ & $p\vee q$ & $\neg p$ & $\neg q$ & $\neg p\vee\neg q$ & 
                                                $(p\vee q) \wedge (\neg p\vee \neg q)$ \\ \hline
                $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ \\
                $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ \\
                $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ \\
                $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $V$ & $F$ \\\hline
               \end{tabular}
              \end{center}
              Logo, $v^i(\neg(p \leftrightarrow q))=v^i((p\vee q) \wedge (\neg p\vee \neg q))$ para toda $i$ e,
              portanto, $\neg(p \leftrightarrow q) \equiv (p\vee q)\wedge (\neg p\vee \neg q)$.
        \item Tabela da verdade:
              \begin{center}
               \begin{tabular}{|cc||c||c|c||c||} \hline
                $p$ & $q$ & $p\rightarrow q$ & $p\leftrightarrow(p\rightarrow q)$ & $p\wedge q$ \\ \hline
                $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ \\
                $V$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ \\
                $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ \\
                $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ \\\hline
               \end{tabular}
              \end{center}
              Logo, $v^i(p \leftrightarrow (p\rightarrow q))=v^i(p\wedge q)$ para toda $i$ e,
              portanto, $p \leftrightarrow (p\rightarrow q) \equiv (p\wedge q)$.
       \end{list}

 
 \item[2.] \begin{list}{\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item \begin{tabbing}
               xx\=$(p\rightarrow \bot)\vee (p\rightarrow \top)$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$(p\rightarrow \bot)\vee (p\rightarrow \top)$\>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow \bot)\vee
                            (\neg p\vee \top)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow \bot)\vee \top$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\top$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$(p\rightarrow q)\wedge p\wedge \neg q$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$(p\rightarrow q)\wedge p\wedge \neg q$\>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow q)\wedge \neg\neg p\wedge\neg q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow q)\wedge \neg(\neg p\vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow q)\wedge \neg(p\rightarrow q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\bot$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$p \vee q$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$p \vee q$\>$\,\equiv$ \>$\neg\neg p\vee q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg\neg p\vee \neg\neg q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg(\neg p\wedge \neg q)$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$p \rightarrow q$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$p \rightarrow q$\>$\,\equiv$ \>$\neg p\vee q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg p\vee q)\wedge\top$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\top\wedge(\neg p\vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\vee \neg p)\wedge(\neg p\vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg p\vee p)\wedge(\neg p\vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg p\vee (p\wedge q))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge\top$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge(\neg q\vee\top)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge(\neg q\vee (\neg p \vee p))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge((\neg q\vee \neg p)\vee p)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge((\neg p\vee \neg q)\vee p)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge(\neg(p\wedge q)\vee p)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\rightarrow (p\wedge q))\wedge((p\wedge q)\rightarrow p)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$p\leftrightarrow (p\wedge q)$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$(p \rightarrow q)\rightarrow r$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$(p \rightarrow q)\rightarrow r$\>$\,\equiv$ \>$(\neg p \vee q)\rightarrow r$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg(\neg p \vee q)\vee r$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg\neg p \wedge \neg q)\vee r$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \wedge \neg q)\vee r$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \vee r)\wedge (\neg q \vee r)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg\neg p \vee r)\wedge (\neg q \vee r)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg p \rightarrow r)\wedge (\neg q \vee r)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg p \rightarrow r)\wedge(q\rightarrow r)$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$(p \rightarrow q)\rightarrow q$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$(p \rightarrow q)\rightarrow q$\>$\,\equiv$ \>$(\neg p \vee q)\rightarrow q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg(\neg p \vee q)\vee q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(\neg\neg p \wedge \neg q)\vee q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \wedge \neg q)\vee q$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \vee q)\wedge (\neg q \vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \vee q)\wedge (q \vee\neg q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p \vee q)\wedge \top$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$p \vee q$
              \end{tabbing}

        \item \begin{tabbing}
               xx\=$\neg(p \leftrightarrow q)$\=$\,\equiv$\= \kill
                 \>$\neg(p \leftrightarrow q)$\>$\,\equiv$ \>$\neg ((p\wedge q)\vee(\neg p\wedge\neg q))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg (p\wedge q)\wedge\neg(\neg p\wedge\neg q))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg (p\wedge q)\wedge(\neg\neg p\vee\neg\neg q))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg (p\wedge q)\wedge(p\vee\neg\neg q))$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$\neg (p\wedge q)\wedge(p\vee q)$ \\
                 \> \>$\,\equiv$ \>$(p\vee q)\wedge\neg (p\wedge q)$ \\
              \end{tabbing}
       \end{list}
\end{enumerate}

\end{document}