\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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\newcounter{conta}
\pagestyle{empty}

\begin{document}

\selectlanguage{portuguese}

\noindent P\'os-Gradua\c{c}\~ao em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o
 \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Demonstra\c c\~ao de Teoremas}
 \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2006 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Teste} \hfill Entrega: at\'e 09/05/2006 \`as 16:30h.

\begin{enumerate}
 \item Prove que se $m$ e $n$ s\~ao n\'umeros reais maiores que $2$,
       ent\~ao $m\times n>m+n$.

 \item Sejam $x$ e $y$ dois n\'umeros reais negativos distintos. Prove que
       as seguintes afirmativas s\~ao eq\"uivalentes:
       \begin{list}{\roman{conta}.}{\usecounter{conta}}
        \item $x<y$.
        \item $|x|>|y|$.
        \item $x^2>y^2$.
       \end{list}
% Cupillari, pag 44, ex 6

 \item Seja $n$ um n\'umero inteiro n\~ao primo maior do que 2. Prove que
       $n$ tem como divisor algum n\'umero maior que 1 e menor ou igual
       a $\sqrt{n}$.
% Cupillari, pag 87, ex 5

 \item Prove que se $S=\{x\in\mbox{\bf R}\,|\,x(x-3)\leq 0\}$ e
       $T=\{x\in\mbox{\bf R}\,|\,x\geq 3\}$, ent\~ao todo elemento de $T$
       \'e um limite superior para o conjunto $S$. (Um n\'umero real $s$
       \'e um limite superior para um conjunto de n\'umeros reais $X$
       se, e somente se, $x\leq s$ para todo $x\in X$.)
% Solow, pag 57, 5.11 

 \item Um conjunto $X$ de n\'umeros reais \'e um {\em conjunto convexo\/} se, e
       somente se, para todo $x,y\in X$ e todo n\'umero real $t$
       tal que $0\leq t \leq 1$, $tx+(1-t)y\in X$.
       \begin{enumerate}
        \item[a)] O que h\'a de errado com a demonstra\c c\~ao a seguir?

               {\bf Teorema\/}. Sejam $S\subseteq\mbox{\bf R}$, $S\subseteq X$,
               $S\not=\emptyset$ e $S$ convexo. Ent\~ao $X$ \'e convexo.

               {\bf Prova.} Para mostrar que $X$ \'e convexo, sejam $x,y\in X$
               e $t$ um n\'umero real tal que $0\leq t \leq 1$. Como $S$ \'e
               convexo, por defini\c c\~ao para quaisquer elementos $u,v\in S$
               e para qualquer n\'umero real $s$ tal que $0\leq s \leq 1$,
               $su+(1-s)v\in S$. Em particular, para os elementos
               espec\'{\i}ficos $x$ e $y$ e para o n\'umero real $t$, segue-se
               que $tx+(1-t)y\in S$. Como $S\subseteq X$, segue-se que
               $tx+(1-t)y\in X$ e, portanto, $X$ \'e convexo.
% Solow, pag 67, ex 6.15 
        \item[b)] Prove que se $S$ e $T$ s\~ao conjuntos convexos, ent\~ao
               $S\cap T$ \'e um conjunto convexo.
% Solow, pag 66, ex 6.9
       \end{enumerate}

 \item Suponha que $\mathcal{F}$ seja uma fam\'{\i}lia de conjuntos. Prove que
       existe um \'unico conjunto $A$ que tem as seguintes propriedades:
       \begin{enumerate}
        \item[a)] $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(A)$.
        \item[b)] $\forall B(\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(B)\rightarrow
                   A\subseteq B)$.
       \end{enumerate}
% Velleman, pag 155, ex 1

 \item Sejam $A$ e $B$ conjuntos. O que voc\^e pode provar a respeito de
       $\mathcal{P}(A\backslash B)\backslash(\mathcal{P}(A)\backslash
       \mathcal{P}(B))$? (Note que n\~ao \'e igual a $\emptyset$!)
% Velleman, pag 155, ex 2

 \item Suponha que $\{A_i\,|\,i\in I\}$ \'e uma fam\'{\i}lia de conjuntos.
       Prove que se $\mathcal{P}(\cup_{i\in I}A)\subseteq\cup_{i\in I}
       \mathcal{P}(A_i)$, ent\~ao existe $i\in I$ tal que $\forall j\in I
       (A_j\subseteq A_i)$.
% Velleman, pag 155, ex 3

 \item Sejam $A$ um conjunto, $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(A)$ e
       $\mathcal{F}\not=\emptyset$. Prove que o maior limite inferior de
       $\mathcal{F}$ \'e $\cap\mathcal{F}$. (Parte do Teorema 4.4.11.)

 \item Seja $R$ uma rela\c c\~ao de eq\"uival\^encia sobre $A$. Prove que
       para todo $x,y\in A$, se $y\not\in[x]_R$, ent\~ao $[x]_R\cap[y]_R=\emptyset$.
\end{enumerate}

\end{document}

