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\begin{document}

\vspace*{2cm}
\noindent {\it Demonstração de Teoremas} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2010 \\
\noindent Professor: Newton José Vieira \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
\noindent {\bf Primeira Prova}/Solução do professor\hfill {13/5/2010}

\vspace*{2mm}
\begin{enumerate}
 \item Prove que um número inteiro positivo de 5 dígitos é divisível por 3 se a soma de seus dígitos é divisível por 3.

       \textit{Solução}:
       
       Seja $n$ um número inteiro positivo arbitrário de 5 dígitos, ou seja, $n=d_1+10d_2+100d_3+1000d_4+10000d_5$,
       sendo cada $d_i$ um dígito de 0 a 9. Suponha que $d_1+d_2+d_3+d_4+d_5$ é divisível por 3, ou seja, que
       $d_1+d_2+d_3+d_4+d_5=3k$ para um inteiro positivo $k$. Segue-se que $d_1=3k-d_2-d_3-d_4-d_5$ e, assim,
       $n=d_1+10d_2+100d_3+1000d_4+10000d_5=(3k-d_2-d_3-d_4-d_5)+10d_2+100d_3+1000d_4+10000d_5$. Simplificando-se
       esta última expressão, chega-se a $n=3k+9d_2+99d_3+999d_4+9999d_5=3(k+3d_2+33d_3+333d_4+3333d_5)$, o que
       mostra claramente que $n$ é divisível por 3. Portanto, se $n$ é um número inteiro positivo de 5 dígitos cuja soma
       é divisível por 3, $n$ é divisível por 3.

 \item Prove que se $(a+b)^2=a^2+b^2$ para todo número real $b$, então $a$ tem que ser $0$.

       \textit{Solução}:

       Como para dois números reais quaisquer $a$ e $b$, $(a+b)^2=a^2+b^2$ se, e somente se $2ab=0$,
       basta provar que se $2ab=0$ para todo número real $b$, então $a$ tem que ser $0$.
       Seja $a$ um número real arbitrário e suponha que $2ab=0$ para todo número real $b$.
       Supondo-se que $a\not=0$, então para $b\not=0$ tem-se que $2ab\not=0$, o que contradiz a
       afirmativa de que $2ab=0$ para todo número real $b$. Logo, $a=0$. Portanto, se
       $2ab=0$ para todo número real $b$, então $a=0$.


%       Seja $a$ um número real arbitrário e suponha que $(a+b)^2=a^2+b^2$ para todo número real $b$.
%       Como para dois números reais quaisquer $x$ e $y$, $(x+y)^2=x^2+y^2$ se, e somente se $2xy=0$, segue-se
%       da suposição acima que $2ab=0$ para todo número real $b$. Supondo que $a\not=0$, então para $b\not=0$
%       tem-se que $2ab\not=0$, o que contradiz a afirmativa de que $2ab=0$ para todo número real $b$. Assim, se
%       $2ab=0$ para todo número real $b$, então $a=0$, ou ainda, se $(a+b)^2=a^2+b^2$ para todo número real $b$,
%       então $a$ tem que ser $0$.

 \item Prove que $A\subseteq B$ se, e somente se, $A\backslash B=\emptyset$. %2.2/11, pag. 73.

       \textit{Solução}:

       ($\rightarrow$) Suponha que $A\subseteq B$. Suponha que $A\backslash B\not=\emptyset$ e seja $x$
       tal que $x\in A\backslash B$, ou seja, $x\in A$ e $x\not\in B$. Como $A\subseteq B$ e $x\in A$,
       segue-se que $x\in B$. Contradição! Logo, não existe $x$ tal que $x\in A\backslash B$, ou seja,
       $A\backslash B=\emptyset$.
       
       ($\leftarrow$) Suponha que $A\backslash B=\emptyset$. Seja $x$ um membro arbitrário de $A$.
       Se $x\not\in B$, como $x\in A$, segue-se que $x\in A\backslash B$, o que contradiz o fato de
       que $A\backslash B=\emptyset$. Portanto, $x\in B$ e, como $x$ é um elemento arbitrário de $A$,
       $A\subseteq B$.
       
 \item Prove que se $\mathcal{F}$ é uma família de conjuntos e $A\in\mathcal{F}$, então $A\subseteq\cup\mathcal{F}$
       e $\cap\mathcal{F}\subseteq A$.

       \textit{Solução}:

       Suponha que $\mathcal{F}$ é uma família de conjuntos e $A\in\mathcal{F}$. Seja $x\in A$. Como
       $A\in\mathcal{F}$, então segue-se que $x\in\cup\mathcal{F}$. Como $x$ é um elemento arbitrário de $A$,
       conclui-se que $A\subseteq\cup\mathcal{F}$. Para provar a outra parte, seja $x\in \cap\mathcal{F}$.
       Neste caso, $x\in X$ para todo $X\in\mathcal{F}$. Em particular, $x\in A$. Portanto, já que $x$ é
       elemento arbitrário de $\cap\mathcal{F}$, $\cap\mathcal{F}\subseteq A$.

 \item Suponha que $A\cap C\subseteq B\cap C$ e $A\cup C\subseteq B\cup C$. Prove que $A\subseteq B$.

       \textit{Solução}:

       Suponha que $x\in A$. Considera-se dois casos:
       
       \textit{Caso 1}: $x\in C$. Como $x\in A$, tem-se que $x\in A\cap C$. E como $A\cap C\subseteq B\cap C$,
       segue-se que $x\in B\cap C$ e, assim, $x\in B$.

       \textit{Caso 2}: $x\not\in C$. Como $x\in A$, tem-se que $x\in A\cup C$. E como $A\cup C\subseteq B\cup C$,
       segue-se que $x\in B\cup C$ e, já que $x\not\in C$, conclui-se que $x\in B$.

       Como em qualquer caso $x\in B$ e $x$ é um elemento arbitrário de $A$, $A\subseteq B$.
\end{enumerate}

\end{document}
