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\begin{document}

\vspace*{2cm}
\noindent {\it Demonstração de Teoremas} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2010 \\
\noindent Professor: Newton José Vieira \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
\noindent {\bf Segunda Prova}\hfill {1/7/2010}

\vspace*{2mm}
\begin{enumerate}
 \item Suponha que $R$ e $S$ sejam relações reflexivas sobre $A$. Prove que $R\circ S$ é reflexiva.

 \item Suponha que $R$ seja uma ordem parcial sobre $A$ e que $B\subseteq A$. Prove que $R\cap(B\times B)$ é uma
       ordem parcial sobre $B$.

 \item Prove que para todo $n\geq 1$, $\sum_{k=1}^{n}(k+1).2^k=n.2^{n+1}$.
 
 \item Prove que em uma sequência de dois ou mais números reais, se o último for maior ou igual ao primeiro elemento
       da sequência, então existem dois números $x$ e $y$ na sequência tais que $y$ vem imediatamente após $x$
       e $y\geq x$.

 \item Para cada número inteiro positivo $n$, seja $A_n=\{1,2,\ldots,n\}$, e seja $$P_n=\{X\subseteq A_n\,|\,
       X \mbox{ não contém dois inteiros consecutivos}\}\mbox{.}$$ Por exemplo,
       $P_3=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,3\}\}$. Prove que para todo $n$, o número de elementos em $P_n$
       é $F_{n+2}$, o $n+2$-ésimo número de Fibonacci. (Por exemplo, o número de elementos em $P_3$ é $5=F_5$.)
       \textit{Dica}: considere que elementos de $P_n$ contêm $n$ e que elementos não contêm $n$.
       
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}\hrule\vspace*{.5mm}\hrule\vspace*{5mm}

\begin{description}
 \item[Propriedades de relações:] Seja $R\subseteq A\times A$.
      \begin{itemize}
       \item $R$ é reflexiva sse $\forall a\in A(a R a)$.
       \item $R$ é simétrica sse $\forall a_1,a_2\in A(a_1 R a_2\rightarrow a_2 R a_1)$.
       \item $R$ é antisimétrica sse $\forall a_1,a_2\in A(a_1 R a_2\wedge a_2 R a_1\rightarrow a_1=a_2)$.
       \item $R$ é transitiva sse $\forall a_1,a_2,a_3\in A(a_1 R a_2\wedge a_2 R a_3\rightarrow a_1 R a_3)$.
      \end{itemize}

 \item[Ordem parcial:] relação binária reflexiva, antissimétrica e transitiva.

 \item[Sequência de Fibonacci:] \
       \begin{itemize}
        \item $F_0=0$, $F_1=1$,
        \item para $n\geq 2$, $F_n=F_{n-2}+F_{n-1}$.
       \end{itemize}
\end{description}

\end{document}
