\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{5}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{center} \LARGE
\bf \underline{M\'ETODOS DE PROVA}\footnote{\large Baseado no livro ``Velleman,
D.J. {\it How To Prove It: A Structured Approach\/}, Cambridge University Press,
1994.}
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
O objetivo \'e propiciar ao aluno:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item conhecer os princ\'{\i}pios envolvidos na constru\c c\~ao de provas;
 \item ser capaz de entender provas;
 \item ser capaz de identificar se uma prova est\'a correta ou incorreta;
 \item ser capaz de construir provas.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conte\'udo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item L\'ogicas Proposicional e de Predicados
 \item T\'ecnicas de prova
 \item Rela\c c\~oes e fun\c c\~oes
 \item Indu\c c\~ao matem\'atica
\end{itemize}

\vspace*{\footskip}
\pagebreak
\begin{center} \LARGE\bf
 INTRODU\c C\~AO
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Observe a tabela:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\begin{tabular}{rlrl}
 $n$ \ \ \ \ & $n$ \'e primo? \ \ \ \ & $2^n-1$ \ \ \ \ & $2^n-1$ \'e primo? \\ \hline
   2 \ \ \ \ &            sim \ \ \ \ &       3 \ \ \ \ &                sim \\
   3 \ \ \ \ &            sim \ \ \ \ &       7 \ \ \ \ &                sim \\
   4 \ \ \ \ & n\~ao: $4=2\times 2$ \ \ \ \ &  15 \ \ \ \ & n\~ao: $15=3\times 5$ \\
   5 \ \ \ \ &            sim \ \ \ \ &      31 \ \ \ \ &                sim \\
   6 \ \ \ \ & n\~ao: $6=2\times 3$ \ \ \ \ &  63 \ \ \ \ & n\~ao: $63=7\times 9$ \\
   7 \ \ \ \ &            sim \ \ \ \ &     127 \ \ \ \ &                sim \\
   8 \ \ \ \ & n\~ao: $8=2\times 4$ \ \ \ \ & 255 \ \ \ \ & n\~ao: $255=15\times 17$ \\
   9 \ \ \ \ & n\~ao: $9=3\times 3$ \ \ \ \ & 511 \ \ \ \ & n\~ao: $511=7\times 73$ \\
  10 \ \ \ \ & n\~ao: $10=2\times 5$ \ \ \ \ & 1023 \ \ \ \ & n\~ao: $1023=31\times 33$
\end{tabular}

\vspace*{13mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjectura 1:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Suponha que $n$ \'e um n\'umero primo. Ent\~ao
 $2^n-1$ \'e um n\'umero primo.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjectura 2:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Suponha que $n$ \'e um n\'umero inteiro
maior que 1, n\~ao primo. Ent\~ao $2^n-1$ n\~ao \'e um n\'umero primo.}}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjectura 1:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Suponha que $n$ \'e um n\'umero primo. Ent\~ao
 $2^n-1$ \'e um n\'umero primo.}}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Contra-exemplo:
\end{flushleft}


\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \parbox{13cm}{$n=11 \Longrightarrow 2^{11}-1=2047=23\times 89$}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} $\Longrightarrow$ \fbox{\parbox{10cm}{\it A conjectura 1 \'e
 {\bf falsa}.}}

\vspace*{10mm}
\hrule

\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjectura 2:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Suponha que $n$ \'e um n\'umero inteiro
maior que 1, n\~ao primo. Ent\~ao $2^n-1$ n\~ao \'e um n\'umero primo.}}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Prova:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
  \hspace*{1cm} \parbox{13cm}{Sejam $a$ e $b$ tais que $1<a<n$, $1<b<n$ e
  $n=a\times b$. Sejam:
   \begin{itemize}
    \item $x=2^a-1$; e
    \item $y=1+2^a+2^{2a}+\cdots+2^{(b-1)a}$
   \end{itemize} 
   \'E f\'acil verificar que $1<x<2^n-1$, $1<y<2^n-1$ e $2^n-1=x\times y$.}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} $\Longrightarrow$ \fbox{\parbox{10cm}{\it A conjectura 2 \'e um
 {\bf TEOREMA}.}}

\end{document}
