\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{8}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{center} \LARGE\bf
 L\'OGICA PROPOSICIONAL
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Argumentos v\'alidos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 1}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Vai chover ou gear \`a tarde. \\ Est\'a
muito quente para gear. \\ Logo, vai chover.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 2}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Se \'e domingo, n\~ao preciso ir para
 o trabalho. \\ Hoje \'e domingo. \\ Logo, n\~ao preciso ir para o trabalho
 hoje.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 3}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Eu vou para o trabalho hoje ou amanh\~a.
\\ Eu vou ficar em casa hoje. \\ Logo, eu vou para o trabalho amanh\~a.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Argumentos incorretos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 4}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Ou o mordomo \'e o culpado, ou a empregada.
 \\ Ou a empregada \'e a culpada, ou a cozinheira. \\ Logo, ou o mordomo \'e o
 culpado, ou a cozinheira.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 5}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Se \'e domingo, n\~ao preciso ir para
 o trabalho. \\ N\~ao preciso ir para o trabalho hoje. \\ Logo, hoje \'e
 domingo.}}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Argumento v\'alido:] aquele em que, se as {\bf premissas} s\~ao
        verdadeiras, a {\bf conclus\~ao} tamb\'em \'e.
 \item[Argumento incorreto:] aquele em que as {\bf premissas} podem ser
        verdadeiras e a {\bf conclus\~ao} falsa, ao mesmo tempo.
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Formas dos argumentos:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 1}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Vai chover ou gear \`a tarde. \\ Est\'a
muito quente para gear. \\ Logo, vai chover.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 3}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Eu vou para o trabalho hoje ou amanh\~a.
\\ Eu vou ficar em casa hoje. \\ Logo, eu vou para o trabalho amanh\~a.}}

\vspace*{10mm}
\hspace*{.8cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox{2cm}{$P$ ou $Q$ \\
                                  n\~ao $Q$ 
                                
                                  \hrule 
                                  
                                  \ \\
                                  $P$}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Formas dos argumentos:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 2}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Se \'e domingo, n\~ao preciso ir para
 o trabalho. \\ Hoje \'e domingo. \\ Logo, n\~ao preciso ir para o trabalho
 hoje.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.8cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox{3.2cm}{se $P$ ent\~ao $Q$ \\
                                  $P$
                                
                                  \hrule 
                                  
                                  \ \\
                                  $Q$}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 4}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Ou o mordomo \'e o culpado, ou a empregada.
 \\ Ou a empregada \'e a culpada, ou a cozinheira. \\ Logo, ou o mordomo \'e o
 culpado, ou a cozinheira.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.8cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox{2cm}{$P$ ou $Q$ \\
                                  $Q$ ou $R$
                                
                                  \hrule 
                                  
                                  \ \\
                                  $P$ ou $R$}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 5}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Se \'e domingo, n\~ao preciso ir para
 o trabalho. \\ N\~ao preciso ir para o trabalho hoje. \\ Logo, hoje \'e
 domingo.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.8cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox{3.2cm}{se $P$ ent\~ao $Q$ \\
                                  $Q$
                                
                                  \hrule 
                                  
                                  \ \\
                                  $P$}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Vari\'aveis proposicionais:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm} $P$, $Q$, $R$, \ldots

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tr\^es conectivos l\'ogicos:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{ccc}
 Conectivo &\ \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $\wedge$ &  & e  \\
  $\vee$ &  & ou  \\
  $\neg$ &  & n\~ao\
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de \underline{f\'ormulas bem formadas}:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\[\begin{array}{lll}
  P & \ \ \ \  & \neg P \\
  \\
  P\vee Q &  & P\wedge Q \\
  \\
  P\wedge \neg Q & & \neg P\vee Q \\
  \\
  \neg(P \vee Q) & & P\wedge(\neg Q\vee R)  \\
  \\
  \neg(P\wedge Q)\vee R & & (\neg P\vee Q)\wedge(P\vee R) 
\end{array}\]

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tabelas da Verdade
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\begin{itemize}
\item {\Large \bf Nega\c c\~ao:}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc}
 $P$ & $\neg P$  \\ \hline
  V &  F  \\
  F &  V
\end{tabular}

\vspace*{5mm}
\item {\Large \bf Conjun\c c\~ao:}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc|c}
 $P$ & $Q$ & $P\wedge Q$ \\ \hline
  V &  V & V \\
  V &  F & F \\
  F &  V & F \\
  F &  F & F \\
\end{tabular}

\vspace*{5mm}
\item {\Large \bf Disjun\c c\~ao:}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc|c}
 $P$ & $Q$ & $P\vee Q$ \\ \hline
  V &  V & V \\
  V &  F & V \\
  F &  V & V \\
  F &  F & F \\
\end{tabular}
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tabela da Verdade para $\neg(P \wedge Q)\vee\neg R$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cccccc|c}
 $P$ & $Q$ & $R$ & $P\wedge Q$ & $\neg(P\wedge Q)$ & $\neg R$ & $\neg(P \wedge Q)\vee\neg R$ \\ \hline
  V & V & V & V & F & F & {\bf F} \\
  V & V & F & V & F & V & {\bf V} \\
  V & F & V & F & V & F & {\bf V} \\
  V & F & F & F & V & V & {\bf V} \\
  F & V & V & F & V & F & {\bf V} \\
  F & V & F & F & V & V & {\bf V} \\
  F & F & V & F & V & F & {\bf V} \\
  F & F & F & F & V & V & {\bf V}
\end{tabular}

\vspace*{8mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tabela da Verdade em formato compacto para $\neg(P \wedge Q)\vee\neg R$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cccccc|c|cc}
 $\neg$ & $($ & $P$ & $\wedge$ & $Q$ & $)$ & $\vee$  & $\neg$ & $R$ \\ \hline
    F   &     &  V  &    V     &  V  &     &    {\bf F}    &   F   &  V  \\
    F   &     &  V  &    V     &  V  &     &    {\bf V}    &   V   &  F  \\
    V   &     &  V  &    F     &  F  &     &    {\bf V}    &   F   &  V  \\
    V   &     &  V  &    F     &  F  &     &    {\bf V}    &   V   &  F  \\
    V   &     &  F  &    F     &  V  &     &    {\bf V}    &   F   &  V  \\
    V   &     &  F  &    F     &  V  &     &    {\bf V}    &   V   &  F  \\
    V   &     &  F  &    F     &  F  &     &    {\bf V}    &   F   &  V  \\
    V   &     &  F  &    F     &  F  &     &    {\bf V}    &   V   &  F  \\
\end{tabular}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Determinando a veracidade de um argumento via Tabela da Verdade:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\bf Argumento:}
 
       O mordomo e o cozinheiro n\~ao s\~ao ambos inocentes. \\
       O mordomo est\'a mentindo ou o cozinheiro \'e inocente. \\
       Portanto, o mordomo est\'a mentindo ou \'e culpado.
 \item {\bf Vari\'aveis proposicionais:}
       \begin{itemize}
        \item M: o mordomo \'e inocente;
        \item C: o cozinheiro \'e inocente;
        \item L: o mordomo est\'a mentindo.
       \end{itemize}
 \item {\bf A forma do argumento:}
 
       $\neg (M\wedge C)$ \\
       $L\vee C$ \\
       $L\vee \neg M$
 \item {\bf Tabela da verdade para premissas e conclus\~ao:}
 
 \begin{tabular}{ccc|cc|c}
 $M$ & $C$ & $L$ & $\neg(M\wedge C)$ & $L\vee C$ & $L \vee \neg M$ \\ \hline
   V & V   & V       & F & V & V \\
   V & V   & F       & F & V & F \\
   V & F   & V       & {\bf V} & {\bf V} & {\bf V} \\
   V & F   & F       & V & F & F \\
   F & V   & V       & {\bf V} & {\bf V} & {\bf V} \\
   F & V   & F       & {\bf V} & {\bf V} & {\bf V} \\
   F & F   & V       & {\bf V} & {\bf V} & {\bf V} \\
   F & F   & F       & V & F & V
\end{tabular}
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 F\'ormulas equivalentes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it T\^em o mesmo valor V/F, para quaisquer\
 valores de suas vari\'aveis proposicionais.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc|cc|cc}
 $P$ & $Q$ & $\neg(P\wedge Q)$ & $\neg P\vee \neg Q$ & $\neg (P\vee Q)$ & 
     $\neg P \wedge \neg Q$ \\ \hline
  V & V & F & F & F & F \\
  V & F & V & V & F & F \\
  F & V & V & V & F & F \\
  F & F & V & V & V & V
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Nota\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm} ``$\equiv$'' significa \underline{\it \'e equivalente a}.

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm} {\bf Exemplos:}
                    \parbox[t]{8cm}{$\neg(P\wedge Q)\equiv\neg P \vee \neg Q$ \\
                                    \ \\
                                    $\neg(P\vee Q)\equiv\neg P \wedge \neg Q$}
\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de f\'ormulas equivalentes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Leis de DeMorgan:] \ 
 
        \
        
        $\neg(P\wedge Q)\equiv\neg P \vee \neg Q$ \\
                                    \ \\
        $\neg(P\vee Q)\equiv\neg P \wedge \neg Q$

        \

 \item[Leis Comutativas:] \ 
 
        \
        
        $P\wedge Q\equiv Q \wedge P$ \\
                                    \ \\
        $P\vee Q\equiv Q \vee P$

        \
        
 \item[Leis Associativas:] \ 
 
        \
        
        $P\wedge (Q\wedge R)\equiv (P\wedge Q)\wedge R$ \\
                                    \ \\
        $P\vee (Q\vee R)\equiv (P\vee Q) \vee R$
\end{description}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de f\'ormulas equivalentes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Leis de Idempot\^encia:] \ 
 
        \
        
        $P\wedge P\equiv P$ \\
                                    \ \\
        $P\vee P\equiv P$

        \
        
 \item[Leis Distributivas:] \ 
 
        \
        
        $P\wedge (Q\vee R)\equiv (P\wedge Q)\vee(P\wedge R)$ \\
                                    \ \\
        $P\vee (Q\wedge R)\equiv (P\vee Q)\wedge(P\vee R)$

        \
        
 \item[Lei da Dupla Nega\c c\~ao:] \ 
 
        \
        
        $\neg \neg P\equiv P$

        \
        
\end{description}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tautologias:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it F\'ormulas que s\~ao sempre verdadeiras.}}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm} \parbox{8cm}{$P\vee \neg P$ \\
                            \ \\
                            $\neg(P\wedge \neg P)$ \\
                            \ \\
                            $P\vee \neg P\vee Q$}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Contradi\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it F\'ormulas que s\~ao sempre falsas.}}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm} \parbox{8cm}{$P\wedge \neg P$ \\
                            \ \\
                            $\neg(P\vee \neg P)$ \\
                            \ \\
                            $P\wedge \neg P\wedge Q$}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Mais leis:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Leis das Tautologias:] Seja $T$ uma tautologia; ent\~ao: 
 
        \
        
        $P\wedge T\equiv P$ \\
        \ \\
        $P\vee T\equiv T$ \\
        \ \\
        $\neg T$ \'e uma contradi\c c\~ao

        \
        
 \item[Leis das Contradi\c c\~oes:] Seja $C$ uma contradi\c c\~ao; ent\~ao: 
 
        \
        
        $P\wedge C\equiv C$ \\
        \ \\
        $P\vee C\equiv P$ \\
        \ \\
        $\neg C$ \'e uma tautologia

        \
\end{description}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo de simplifica\c c\~ao de uma f\'ormula:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\noindent \begin{tabbing}
 $\neg(P\vee (Q\wedge$\=$\equiv\neg P\wedge((Q\wedge\neg Q)\vee (Q\wedge R))=$
      \=\kill
 $\neg(P\vee (Q\wedge\neg R))\wedge Q$ \\
 \\
 \> $\equiv(\neg P\wedge\neg (Q\wedge\neg R))\wedge Q$ \> (DeMorgan) \\
 \\
 \> $\equiv(\neg P\wedge(\neg Q\vee\neg\neg R))\wedge Q$ \> (DeMorgan) \\
 \\
 \> $\equiv(\neg P\wedge(\neg Q\vee R))\wedge Q$ \> (dupla nega\c c\~ao) \\
 \\
 \> $\equiv\neg P\wedge((\neg Q\vee R)\wedge Q)$ \> (associatividade) \\
 \\
 \> $\equiv\neg P\wedge(Q\wedge(\neg Q\vee R))$ \> (comutatividade) \\
 \\
 \> $\equiv\neg P\wedge((Q\wedge\neg Q)\vee (Q\wedge R))$ \> (distributividade) \\
 \\
 \> $\equiv\neg P\wedge((Q\wedge R)\vee (Q\wedge\neg Q))$ \> (comutatividade) \\
 \\
 \> $\equiv\neg P\wedge(Q\wedge R)$ \> (contradi\c c\~ao)
\end{tabbing}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Predicado:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it S\'{\i}mbolo que representa uma
 \underline{propriedade} de \underline{objetos} de um certo
 \underline{dom\'{\i}nio}.}}

\vspace{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de predicados:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{ccl}
  Predicado & \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $P$ & & {\it \'e um n\'umero primo} \\
  $D$ & & {\it \'e divis\'{\i}vel por} \\
  $H$ & & {\it \'e homem} \\
  $M$ & & {\it \'e mulher} \\
  $F$ & & {\it tem ``tantos'' filhos}
 \end{tabular}
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Vari\'avel:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it S\'{\i}mbolo que pode ser
 \underline{substitu\'{\i}do} por um \underline{objeto} de um certo
 \underline{dom\'{\i}nio}.}}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de express\~oes envolvendo predicados e vari\'aveis:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{ccl}
  Express\~ao & \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $P(x)$ & & $x$ {\it \'e um n\'umero primo} \\
  $D(x,y)$ & & $x$ {\it \'e divis\'{\i}vel por} $y$ \\
  $H(x)$ & & $x$ {\it \'e homem} \\
  $M(x)$ & & $x$ {\it \'e mulher} \\
  $F(x,y)$ & & $x$ {\it tem} $y$ {\it filhos}
 \end{tabular}
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos de f\'ormulas:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{lcc}
  F\'ormula & \ \ \ & Valor V/F \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $P(2)$ & & V \\
  $P(2+2)$ & & F \\
  $D(4,3)$ & & F \\
  $H(\mbox{Jo\~ao})$ & & V \\
  $M(\mbox{Jo\~ao})$ & & F \\
  $F(\mbox{Jo\~ao},8)$ & & V \\
  $P(2)\vee D(4,3)$ & & V \\
  $\neg(H(\mbox{Jo\~ao})\wedge M(\mbox{Jo\~ao}))$ & & V 
 \end{tabular}
\end{center}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 O que t\^em em comum as seguintes entidades?
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item um grupo de pessoas
 \item uma constela\c c\~ao
 \item uma d\'uzia de ovos
 \item os n\'umeros inteiros
 \item os personagens de ``O Alienista'', de Machado de Assis
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjunto:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Cole\c c\~ao de objetos (concretos,
abstratos e/ou fict\'{\i}cios), denominados \underline{elementos} do conjunto.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Nota\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $a\in A$: $a$ pertence a $A$
 \item $a\not\in A$: $a$ n\~ao pertence a $A$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Duas maneiras de definir um conjunto:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Listar seus elementos entre chaves.
       \begin{itemize}
        \item Exemplos:
        
              \hspace*{1cm} $\{1, 3, 5, 7, 9\}$
              
              \hspace*{1cm} $\{1, 3, 5, \ldots\}$
              
       \end{itemize}

 \item Utilizar a forma $\{x \,\,|\,\, P(x)\}$.
       \begin{itemize}
        \item Exemplos:
        
              \hspace*{1cm} $\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um inteiro positivo
              \'{\i}mpar, menor que 10}\}$.
              
              \hspace*{1cm} $\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um inteiro positivo
              \'{\i}mpar}\}$.
              
       \end{itemize}
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 As seguintes afirmativas t\^em o mesmo significado:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $y\in \{x \,\,|\,\, P(x)\}$ e $P(y)$
 \item $y\not\in \{x \,\,|\,\, P(x)\}$ e $\neg P(y)$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Alguns conjuntos (dom\'{\i}nios) importantes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\bf R}$=\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um n\'umero real}\}$
 \item {\bf Q}$=\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um n\'umero racional}\}$
 \item {\bf Z}$=\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um n\'umero inteiro}\}$
 \item {\bf N}$=\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e um n\'umero natural}\}=\{0,1,2,3,
                  \ldots\}$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Nota\c c\~oes alternativas:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm} $\{x\in U \,\,|\,\, P(x)\}$ significa 
$\{x \,\,|\,\, \mbox{$x$ pertence a $U$} \wedge P(x)\}$

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm} {\bf Exemplos:}

\ 

\hspace*{1.4cm}   \parbox[t]{12cm}{$\{x\in \mbox{\bf Z} \,\,|\,\, x^2<9\}=
                                   \{-2,-1,0,1,2\}$ \\
                                   \ \\
                                $\{x\in \mbox{\bf R} \,\,|\,\, x^2<9\}=\cdots ?$}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjunto-verdade ({\it truth set\/}) de uma afirmativa $P(x)$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Conjunto-verdade de
 $P(x)=\{x \,\,|\,\, P(x)\}$.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Valores extremos para $\{x \,\,|\,\, P(x)\}$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item o {\bf conjunto universo}, quando $P(x)$ \'e V para todo $x$.
 \item o {\bf conjunto vazio}, $\phi=\{\}$, quando $P(x)$ \'e F para todo $x$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} \parbox[t]{12cm}{ $\{x\in \mbox{\bf R} \,\,|\,\, x^2\geq 0\}=
                                     \mbox{\bf R}$\\
                                   \ \\
                                $\{x\in \mbox{\bf Z} \,\,|\,\, x\not=x\}=\phi$}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Opera\c c\~oes sobre conjuntos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\bf Interse\c c\~ao:} $A\cap B=\{x \,\,|\,\, x\in A \wedge x\in B\}$
       
       \begin{center}
       \begin{picture}(120,90)
        \put(0,0){\framebox(120,90)}
        \put(3,87){\makebox(0,0)[lt]{\normalsize $U$}}
        \put(45,45){\circle{46}}
        \put(45,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $A$}}
        \put(75,45){\circle{46}}
        \put(75,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $B$}}
       \end{picture}
       \end{center}
 \item {\bf Uni\~ao:} $A\cup B=\{x \,\,|\,\, x\in A \vee x\in B\}$
       
       \begin{center}
       \begin{picture}(120,90)
        \put(0,0){\framebox(120,90)}
        \put(3,87){\makebox(0,0)[lt]{\normalsize $U$}}
        \put(45,45){\circle{46}}
        \put(45,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $A$}}
        \put(75,45){\circle{46}}
        \put(75,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $B$}}
       \end{picture}
       \end{center}
 \item {\bf Diferen\c ca:} $A\backslash B=\{x \,\,|\,\, x\in A \wedge x\not\in B\}$
       
       \begin{center}
       \begin{picture}(120,90)
        \put(0,0){\framebox(120,90)}
        \put(3,87){\makebox(0,0)[lt]{\normalsize $U$}}
        \put(45,45){\circle{46}}
        \put(45,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $A$}}
        \put(75,45){\circle{46}}
        \put(75,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $B$}}
       \end{picture}
       \end{center}
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 \fbox{\parbox{\textwidth}{Se dois conjuntos t\^em o mesmo diagrama de Venn, ent\~ao
                     s\~ao iguais.}}

\end{flushleft}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Sejam:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A=\{x \,\,|\,\, P(x)\}$
 \item $B=\{x \,\,|\,\, Q(x)\}$
\end{itemize}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Ent\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\{x \,\,|\,\, P(x)\wedge Q(x)\}=\{x \,\,|\,\, x\in A\wedge x\in B\}
        =A\cap B$
 \item $\{x \,\,|\,\, P(x)\vee Q(x)\}=\{x \,\,|\,\, x\in A\vee x\in B\}
        =A\cup B$
 \item $\{x \,\,|\,\, \neg P(x)\}=\{x \,\,|\,\, x\in U\wedge x\not\in A\}
        =U\backslash A$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Mostrando que $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{tabbing}
 $x\in$\= equivale a $(x\in A\wedge x\in B) \vee (x\in A\wedge x\in C)$
      \=\kill
 $x\in A\cap(B\cup C)$ \\
 \> equivale a $x\in A\wedge x\in B\cup C$ \> (def. de $\cap$) \\
 \> equivale a $x\in A\wedge (x\in B \vee x\in C)$ \> (def. de $\cup$) \\
\end{tabbing}
 \item \begin{tabbing}
 $x\in$\= equivale a $(x\in A\wedge x\in B) \vee (x\in A\wedge x\in C)$
      \=\kill
 $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ \\
 \> equivale a $x\in A\cap B \vee x\in A\cap C$ \> (def. de $\cup$) \\
 \> equivale a $(x\in A\wedge x\in B) \vee (x\in A\wedge x\in C)$ \>
  (def. de $\cap$) \\
\end{tabbing}
 \item estas duas afirmativas s\~ao logicamente equivalentes.
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Rela\c c\~oes entre conjuntos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\bf Subconjunto:} $A\subseteq B$ se todo elemento de $A$ \'e tamb\'em
        elemento de $B$.
       
       \begin{center}
       \begin{picture}(120,90)
        \put(0,0){\framebox(120,90)}
        \put(3,87){\makebox(0,0)[lt]{\normalsize $U$}}
        \put(60,45){\circle{36}}
        \put(60,65){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $A$}}
        \put(60,45){\oval(66,66)}
        \put(60,80){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $B$}}
       \end{picture}
       \end{center}
 \item {\bf Disjuntos:} $A$ e $B$ s\~ao disjuntos se $A\cap B=\phi$.
 
       \begin{center}
       \begin{picture}(120,90)
        \put(0,0){\framebox(120,90)}
        \put(3,87){\makebox(0,0)[lt]{\normalsize $U$}}
        \put(35,45){\circle{46}}
        \put(35,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $A$}}
        \put(85,45){\circle{46}}
        \put(85,70){\makebox(0,0)[b]{\normalsize $B$}}
       \end{picture}
       \end{center}

\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\noindent Para quaisquer conjuntos $A$ e $B$:
\begin{itemize}
 \item $A\cap B$ e $A\backslash B$ s\~ao disjuntos.
 \item $(A\cup B)\backslash B \subseteq A$.
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 O conectivo condicional:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{ccl}
 Conectivo &\ \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $\rightarrow$ &  & se \ldots ent\~ao \ldots (implica)
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Voltando ao argumento 2:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}{\bf 2}\ \fbox{\parbox{13cm}{\it Se \'e domingo, n\~ao preciso ir para
 o trabalho. \\ Hoje \'e domingo. \\ Logo, n\~ao preciso ir para o trabalho
 hoje.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.8cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox{3.2cm}{$P\rightarrow Q$ \\
                                  $P$
                                
                                  \hrule 
                                  
                                  \ \\
                                  $Q$}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Outro exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{13cm}{\it Se est\'a chovendo e estou sem guarda-chuva, ent\~ao
ficarei molhado.}}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}{\bf Forma:} \hspace*{.4cm}\parbox[t]{12cm}{$(C\wedge\neg G)
                 \rightarrow M$, \\
                 \ \\
                 onde: \\
                 \ \\
                 $C$ designa ``{\it est\'a chovendo}''; \\
                 $G$ designa ``{\it estou com guarda-chuva}''; e\\
                 $M$ designa ``{\it ficarei molhado}''.}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tabela da Verdade para o conectivo condicional:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc|c}
 $P$ & $Q$ & $P\rightarrow Q$ \\ \hline
  V &  V & V \\
  V &  F & F \\
  F &  V & V \\
  F &  F & V \\
\end{tabular}

\vspace*{12mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Uma justificativa:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\noindent {\bf Considere a afirmativa}

\vspace*{7mm}
\hspace*{1cm} \fbox{\parbox{10cm}{\it se $x>2$ ent\~ao $x^2>4$}}

\vspace*{7mm}
\noindent {\bf para} $x=3, -5, 1$.

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Leis relativas ao conectivo condicional:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Leis do condicional:] \ 
 
        \
        
        $P\rightarrow Q\equiv\neg P \vee Q$ \\
                                    \ \\
        $P\rightarrow Q\equiv\neg (P \wedge \neg Q)$

        \

 \item[Lei da contrapositiva:] \ 
 
        \
        
        $P\rightarrow Q\equiv \neg Q\rightarrow \neg P$ \\
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Maneiras alternativas de dizer ``$P\rightarrow Q$'', em Matem\'atica:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item se $P$ ent\~ao $Q$
 \item $Q$, se $P$
 \item $P$ somente se $Q$
 \item $P$ implica $Q$
 \item $P$ \'e condi\c c\~ao suficiente para $Q$
 \item $Q$ \'e condi\c c\~ao necess\'aria para $P$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 O conectivo bicondicional:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{ccl}
 Conectivo &\ \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $\leftrightarrow$ &  & se \ldots e somente se \ldots
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 O conectivo ``$\leftrightarrow$'' deve ser tal que:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\[P\leftrightarrow Q\equiv (P\rightarrow Q)\wedge(Q\rightarrow P)\]

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Tabela da Verdade para o conectivo bicondicional:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{cc|c}
 $P$ & $Q$ & $P\rightarrow Q$ \\ \hline
  V &  V & V \\
  V &  F & F \\
  F &  V & F \\
  F &  F & V \\
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Maneiras alternativas de dizer ``$P\leftrightarrow Q$'', em Matem\'atica:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $P$ se, e somente se $Q$
 \item $P$ \'e condi\c c\~ao necess\'aria e suficiente para $Q$
\end{itemize}


\end{document}
