\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{34}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{center} \LARGE\bf
 L\'OGICA DE PREDICADOS
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
O quantificador universal:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{ccc}
 Quantificador &\ \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $\forall$ &  & para todo elemento do universo 
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\forall x\, x^2\geq 0$
 \item $\forall x\, (x>2 \rightarrow x^2>4)$
 \item $\forall x\, \mbox{gosta}(x,\mbox{Maria})$
 \item $\forall x\, (\mbox{humano}(x)\rightarrow \mbox{mortal}(x))$
 \item $\forall x\, (\neg \mbox{gosta}(x,\mbox{Jo\~ao})\rightarrow
                   \mbox{gosta}(\mbox{Suzana},x))$
 \item $\forall x\, (\mbox{gosta}(x,\mbox{Jo\~ao})\rightarrow
                    (\mbox{maluco}(x)\vee \mbox{santo}(x)))$

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
O quantificador existencial:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\hspace*{.4cm}\begin{tabular}{ccc}
 Quantificador &\ \ \ \ & Significado \\ \cline{1-1} \cline{3-3}
  \\
  $\exists$ &  & existe um ou mais elementos tais que 
\end{tabular}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\exists x\, x^2-2x+3=0$
 \item $\exists x\, \mbox{gosta}(x,\mbox{Jo\~ao})$
 \item $\exists x\, (\mbox{humano}(x)\wedge\mbox{canhoto}(x))$
 \item $\neg \exists x\, \mbox{perfeito}(x)$
 \item $\forall x\, (\mbox{perdedor}(x)\rightarrow
                    \neg \exists y\mbox{gosta}(y,x))$
 \item $\forall x\exists y\, \mbox{gosta}(x,y)$
 \item $\exists y\forall x\, \mbox{gosta}(x,y)$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Leis da nega\c c\~ao de quantificadores:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm} $\neg \exists x\, P(x) \equiv \forall x\, \neg P(x)$

\vspace*{2mm}
\hspace*{1cm} $\neg \forall x\, P(x) \equiv \exists x\, \neg P(x)$

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Determinar f\'ormulas correspondentes \`as afirmativas:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A\subseteq B$
 \item $A\not\subseteq B$
 \item {\it Toda pessoa tem um parente do qual ela n\~ao gosta.}
 \item A nega\c c\~ao da afirmativa acima.
 \item {\it Jo\~ao \'e b\'{\i}gamo.}
 \item {\it Todos gostam de pelo menos duas pessoas.}
 \item {\it Jo\~ao gosta de exatamente uma pessoa.}
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Abreviatura:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm} $\exists ! x$ significa {\it existe exatamente um elemento $x$ tal que.}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Duas nota\c c\~oes \'uteis:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\forall x\in A F$ significa $\forall x (x\in A\rightarrow F)$
 \item $\exists x\in A F$ significa $\exists x (x\in A\wedge F)$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\forall x\in\mbox{\bf N}\, x\geq 0$
 \item $\exists x\in\mbox{\bf R}\, x\geq 0$
 \item $\forall x\in\mbox{\bf R}^+\exists y\, y^2=x$
 \item $\forall x\in\mbox{\bf R}^+\exists y\in\mbox{\bf R}^-\, y^2=x$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 As leis da nega\c c\~ao de quantificadores continuam valendo:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm} $\neg \exists x\in A\, P(x) \equiv \forall x\in A\, \neg P(x)$

\vspace*{2mm}
\hspace*{1cm} $\neg \forall x\in A\, P(x) \equiv \exists x\in A\, \neg P(x)$

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 O que dizer de:
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item $\exists x\in A P(x)$
 \item $\forall x\in A P(x)$
\end{itemize}

\begin{flushleft} \LARGE\bf
 se $A=\phi$?
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Distributividade dos quantificadores:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\forall$ distribui sobre $\wedge$:
 
       $\forall x\, (P(x)\wedge Q(x))\equiv \forall x\, P(x)\wedge \forall
        x\, Q(x)$
 \item $\exists$ distribui sobre $\vee$:
 
       $\exists x\, (P(x)\vee Q(x))\equiv \exists x\, P(x)\vee \exists
        x\, Q(x)$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{tabbing}
$A=B$ \=significa $\forall x\, (x\in A\leftrightarrow x\in B)$ \\
      \> $\equiv \forall x\, [(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge
                           (x\in B\rightarrow x\in A)]$ \\
      \> $\equiv \forall x\, (x\in A\rightarrow x\in B)\wedge
                \forall x\, (x\in B\rightarrow x\in A)$ \\
      \> significado de $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$
\end{tabbing}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjunto indexado:
\end{flushleft}
 
\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Aquele que pode ser definido da forma: \\
\ \\
 $\{e_i \,\,|\,\, i\in I\}$ \\
\ \\
$I$: o conjunto \'{\i}ndice (seus elementos s\~ao denominados \'{\i}ndices).}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\{p_i \,\,|\,\, i\in J\}$, onde $J=\{1,2,3,\ldots,100\}$ e $p_i$ \'e o
       $i$-\'esimo n\'umero primo.
 \item $\{m_a \,\,|\,\, a\in A\}$, onde $A=$ conjunto de todos os alunos
       da UFMG e $m_a$ \'e a m\~ae do aluno $a$.
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fam\'{\i}lia de conjuntos:
\end{flushleft}
 
\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it conjunto cujos elementos s\~ao
 todos conjuntos.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\{C_a \,\,|\,\, a\in A\}$, onde $A=$ conjunto de todos os alunos
       da UFMG e $C_a$ \'e o conjunto das disciplinas j\'a cursadas por $a$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjunto pot\^encia de $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm} 
\hspace*{2cm} \fbox{\parbox{7cm}{${\cal P}(A)=\{x \,\,|\,\, x\subseteq A\}$}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Para uma fam\'{\i}lia de conjuntos ${\cal F}$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\cap {\cal F}= \{x \,\,|\,\, \forall A\in {\cal F}\, (x\in A)\}
        = \{x \,\,|\,\, \forall A\,(A\in {\cal F}\rightarrow x\in A)\}$
 \item $\cup {\cal F}= \{x \,\,|\,\, \exists A\in {\cal F}\, (x\in A)\}
        = \{x \,\,|\,\, \exists A\, (A\in {\cal F}\wedge x\in A)\}$
\end{itemize}




\end{document}
