\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{61}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para provar $P\wedge Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Provar $P$ e $Q$ separadamente.}}

\vspace*{15mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para uso de suposi\c c\~ao da forma $P\wedge Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Trat\'a-la como duas suposi\c c\~oes: $P$
 e $Q$.}}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{3mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam $A\subseteq B$, e $A$ e $C$ disjuntos. Ent\~ao
         $A\subseteq B\backslash C$.}
\end{description}

\vspace*{3mm}
\begin{itemize}
 \item No in\'{\i}cio:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $A\subseteq B$ & & $A\subseteq B\backslash C$ \\
        $A\cap C=\phi$
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Usando estrat\'egias do $x$ arbitr\'ario, da prova direta e da
       separa\c c\~ao:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $A\subseteq B$ & & $x\in B$ \\
        $A\cap C=\phi$ & & $x\not\in C$ \\
        $x\in A$
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Formato final da prova:
 
\vspace*{3mm}
       Seja um $x$ arbitr\'ario.
       
       \hspace*{.5cm} Suponha que $x\in A$.

       \hspace*{1cm} [Prova de $x\in B$].

       \hspace*{1cm} [Prova de $x\not\in C$].

       \hspace*{1cm} Logo, $x\in B\wedge x\not\in C$ e, assim, $x\in B\backslash
                      C$.

       \hspace*{.5cm} Portanto, $x\in A\rightarrow x\in B\backslash C$.

       Como $x$ \'e arbitr\'ario, $\forall x (x\in A\rightarrow x\in B\backslash
        C)$ e, logo, $A\subseteq B\backslash C$.

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para provar $P\leftrightarrow Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Provar $P\rightarrow Q$ e $Q\rightarrow P$
 separadamente.}}

\vspace*{15mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para uso de suposi\c c\~ao da forma $P\leftrightarrow Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Trat\'a-la como duas suposi\c c\~oes:
 $P\rightarrow Q$ e $Q\rightarrow P$.}}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja um n\'umero inteiro $x$. Ent\~ao $x$ \'e par se, e
        somente se, $x^2$ \'e par.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Usando estrat\'egia da prova direta para ($x$ \'e par)
       $\rightarrow$ ($x^2$ \'e par):
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in \mbox{\bf Z}$ & & $x^2$ \'e par \\
        $x$ \'e par
       \end{tabular}
 
\vspace*{5mm}
 \item Usando a defini\c c\~ao de {\it par\/}:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in \mbox{\bf Z}$ & & $\exists n\in\mbox{\bf Z} (x^2=2n)$ \\
        $\exists k\in\mbox{\bf Z} (x=2k)$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Usando instancia\c c\~ao existencial:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in \mbox{\bf Z}$ & & $\exists n\in\mbox{\bf Z} (x^2=2n)$ \\
        $k\in\mbox{\bf Z}$ \\
        $x=2k$
       \end{tabular}

        (Assim, um $n \in\mbox{\bf Z}$ tal que $x^2=2n$ seria $2k^2$.)

\vspace*{5mm}
 \item De forma similar, usa-se a estrat\'egia da contrapositiva para ($x^2$ \'e par)
       $\rightarrow$ ($x$ \'e par).

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
\`As vezes \'e poss\'{\i}vel provar $P\leftrightarrow Q$ por meio de um
``encadeamento'' de {\it se, e somente se\/}'s.
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos. Ent\~ao $A\cap(B\backslash
        C)=(A\cap B)\backslash C$.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft}\bf
 Duas abordagens:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Provar $A\cap(B\backslash C)\subseteq (A\cap B)\backslash C$ e
       $(A\cap B)\backslash C\subseteq A\cap(B\backslash C)$.
 \item Provar $x\in A\cap(B\backslash C)\leftrightarrow x\in(A\cap B)\backslash
       C$, para $x$ arbitr\'ario.
       
       Para este exemplo, pode-se provar \[x\in A\cap(B\backslash C)
       \leftrightarrow x\in(A\cap B)\backslash C\] usando-se um encadeamento de
       {\it se, e somente se\/}'s.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 \'E errado come\c car escrevendo $P\leftrightarrow Q$, depois substituir $P$ e
 $Q$ por equivalentes, e assim sucessivamente, at\'e que se obtenha a mesma
 afirmativa de ambos os lados de $\leftrightarrow$.
\end{flushleft}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia p/ suposi\c c\~ao da forma $P\vee Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{3mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Dividir a prova em casos. Caso 1: supor
$P$ verdadeiro e fazer a prova. Caso 2: supor $Q$ verdadeiro e fazer a prova.}}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item No in\'{\i}cio:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $P\vee Q$ & & $X$ \\
        etc.
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Usando a estrat\'egia de divis\~ao em casos:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{llcl}
        Caso 1:&{\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\
         \cline{2-2}\cline{4-4}
        &$P$ & & $X$ \\
        &etc.
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{llcl}
        Caso 2:&{\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\
         \cline{2-2}\cline{4-4}
        &$Q$ & & $X$ \\
        &etc.
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Formato final da prova:
 
\vspace*{3mm}
       {\it Caso 1.\/} $P$ \'e verdadeiro.
       
       \hspace*{2cm} [Prova de $X$].

       {\it Caso 2.\/} $Q$ \'e verdadeiro.
       
       \hspace*{2cm} [Prova de $X$].

       Como se sabe que $P\vee Q$, estes casos cobrem todas as possibilidades;
       portanto, $X$ \'e verdadeiro.

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{3mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos. Ent\~ao se $A\subseteq C$
        e $B\subseteq C$ ent\~ao $A\cup B\subseteq C$.}
\end{description}

\vspace*{3mm}
\begin{itemize}
 \item Inicialmente:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $A\subseteq C$ & & $\forall x (x\in A\cup B\rightarrow x\in C)$ \\
        $B\subseteq C$
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Usando estrat\'egias do $x$ arbitr\'ario e da prova direta:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $A\subseteq C$ & & $x\in C$ \\
        $B\subseteq C$  \\
        $x\in A\vee x\in B$
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
 \item Formato final da prova:
 
\vspace*{3mm}
       Suponha que $A\subseteq C$ e $B\subseteq C$.

       \hspace*{.5cm} Seja $x$ arbitr\'ario. \\
       \hspace*{.5cm} Suponha que $x\in A\cup B$, ou seja, $x\in A\vee x\in B$.

       \hspace*{1cm} {\it Caso 1.\/} $x\in A$. [Prova de $x\in C$.]

       \hspace*{1cm} {\it Caso 2.\/} $x\in B$. [Prova de $x\in C$.]

       \hspace*{1cm} Como $x\in A\vee x\in B$, estes casos implicam que $x\in C$.

       \hspace*{.5cm} Como $x$ \'e arbitr\'ario, tem-se que $A\cup B\subseteq C$
       
       Logo, se $A\subseteq C$ e $B\subseteq C$, $A\cup B\subseteq C$.

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para provar $P\vee Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Divida a prova em dois casos. Em um prove
 $P$, e no outro prove $Q$.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos. Ent\~ao $A\backslash
        (B\backslash C)\subseteq (A\backslash B)\cup C$.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Usando estrat\'egias do $x$ arbitr\'ario e da prova direta:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in A \wedge\neg(x\in B\wedge x\not\in C)$ & & $(x\in A\wedge x\not\in
          B)\vee x\in C$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Usando separa\c c\~ao e De Morgan:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in A$ & & $(x\in A\wedge x\not\in B)\vee x\in C$ \\
        $x\not\in B\vee x\in C$
       \end{tabular}
 
\vspace*{5mm}
 \item Usando a estrat\'egia de divis\~ao em casos/Caso 1:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in A$ & & $(x\in A\wedge x\not\in B)\vee x\in C$ \\
        $x\not\in B$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Caso 2: similar.
 
\end{itemize}

\pagebreak
\noindent\fbox{\parbox{14cm}{\it Qualquer prova pode ser dividida em casos,
desde que os casos esgotem todas as possibilidades.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Para todo inteiro $x$, o resto da divis\~ao de $x^2$ por
 4 \'e 0 ou 1.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item No in\'{\i}cio:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\in \mbox{\bf Z}$ & & ($x^2\div 4$ tem resto 0) $\vee$
        ($x^2\div 4$ tem resto 1)
       \end{tabular}

 \vspace*{3mm}
 \item Dividindo em casos:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{llcl}
        Caso 1:&{\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\
         \cline{2-2}\cline{4-4}
        &$x\in \mbox{\bf Z}$ & & $x^2\div 4$ tem resto 0 \\
        &$x$ \'e par
       \end{tabular}

\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{llcl}
        Caso 2:&{\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\
         \cline{2-2}\cline{4-4}
        &$x\in \mbox{\bf Z}$ & & $x^2\div 4$ tem resto 1 \\
        &$x$ \'e \'{\i}mpar
       \end{tabular}

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Outra estrat\'egia para provar $P\vee Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Suponha $\neg P$, e prove $Q$.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Para todo n\'umero real $x$, se $x^2\geq x$, ent\~ao
        $x\leq 0$ ou $x\geq 1$.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Usando estrat\'egias do $x$ arbitr\'ario e da prova direta:
 
\vspace*{3mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x^2\geq x$ & & $x\leq 0 \vee x\geq 1$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Usando a estrat\'egia:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x^2\geq x$ & & $x\geq 1$ \\
        $x>0$
       \end{tabular}
 
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Outra estrat\'egia p/ suposi\c c\~ao da forma $P\vee Q$:
\end{flushleft}

\vspace*{3mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Se $\neg P$ for verdadeiro ou for provado,
concluir que $Q$ \'e verdadeiro.}}

\pagebreak
\noindent\fbox{\parbox{14cm}{\it As seguintes f\'ormulas s\~ao equivalentes:
 \begin{itemize}
  \item $\exists x [P(x)\wedge \neg \exists y (P(y)\wedge y\not= x)]$
  \item $\exists x [P(x)\wedge \forall y (P(y)\rightarrow y = x)]$
  \item $\exists x \forall y [P(y)\leftrightarrow y = x]$
  \item $\exists x P(x)\wedge \forall y\forall z [(P(y)\wedge P(z))\rightarrow
         y = z]$
 \end{itemize}}}

\vspace*{15mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia para provar $\exists ! x P(x)$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Provar:
\begin{itemize}
 \item a \underline{exist\^encia}: $\exists x P(x)$; e
 \item a \underline{unicidade}: $\forall y\forall z
       [(P(y)\wedge P(z))\rightarrow y = z]$.
\end{itemize}
}}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Existe um \'unico conjunto $A$ tal que para todo conjunto
        $B$, $A\cup B=B$.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Prova de exist\^encia:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        -- & & $\exists A\forall B (A\cup B=B)$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
       (Qual a escolha \'obvia para $A$?)
       
\vspace*{5mm}
 \item Prova de unicidade ($C$ e $D$, arbitr\'arios; prova direta):
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $\forall B (C\cup B=B)$ & & $C=D$ \\
        $\forall B (D\cup B=B)$
       \end{tabular}
 
\vspace*{5mm}
       (Qual a escolha para $B$ em cada suposi\c c\~ao?)
       
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Outra estrat\'egia para provar $\exists ! x P(x)$:
\end{flushleft}

\vspace*{10mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Provar $\exists x 
[P(x)\wedge \forall y (P(y)\rightarrow y = x)]$
}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Para todo n\'umero real $x$, se $x\not=2$ ent\~ao existe
        um \'unico n\'umero real $y$ tal que $2y/(y+1)=x$.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $x$ arbit\'ario, prova direta:
 
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\not=2$ & & $\exists ! y[2y/(y+1)=x]$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Usando a segunda estrat\'egia para $\exists !$:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ & {\it A provar} \\ 
              \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\not=2$ & & $\exists y[2y/(y+1)=x \wedge \forall z (2z/(z+1)=x
         \rightarrow z=y)]$ 
       \end{tabular}
 
\vspace*{5mm}
 \item Ap\'os determinar $y=x/(2-x)$:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $x\not=2$ & & $2y/(y+1)=x$  \\
        $y=x/(2-x)$ & & $\forall z (2z/(z+1)=x\rightarrow z=y)]$
       \end{tabular}
 
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Estrat\'egia p/ suposi\c c\~ao da forma $\exists ! x P(x)$:
\end{flushleft}

\vspace*{3mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Tratar como duas suposi\c c\~oes:
$\exists x P(x)$, e $\forall y\forall z [(P(y)\wedge P(z))\rightarrow y = z]$.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam 3 conjuntos $A$, $B$ e $C$, sendo $A$ e $B$ n\~ao
 disjuntos, $A$ e $C$ n\~ao disjuntos, e $A$ tendo exatamente 1 elemento.
 Ent\~ao $B$ e $C$ n\~ao s\~ao disjuntos.}
\end{description}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Inicialmente:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ \ \ \ & {\it A provar} \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
        $A\cap B\not=\phi$ & & $B\cap C\not=\phi$ \\
        $A\cap C\not=\phi$ \\
        $\exists ! x (x\in A)$
       \end{tabular}

\vspace*{5mm}
 \item Usando a estrat\'egia para suposi\c c\~ao $\exists !$:
 
\vspace*{5mm}
       \begin{tabular}{lcl}
        {\it Suposi\c c\~oes} & \ & {\it A provar} \\ 
              \cline{1-1}\cline{3-3}
        $\exists (x\in A\wedge x\in B)$ & & $\exists x(x\in B \wedge x\in C)$ \\
        $\exists (x\in A\wedge x\in C)$ \\
        $\exists x (x\in A)$ \\
        $\forall y\forall z [(y\in A\wedge z\in A)\rightarrow y = z]$
       \end{tabular}
 
\end{itemize}

\end{document}
