\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{75}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{center} \LARGE\bf
 RELA\c C\~OES
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Par ordenado:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $(a,b)=(c,d)$ se, e somente se, $a=c$ e $b=d$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Produto cartesiano:
\end{flushleft}

\vspace*{8mm}
\begin{itemize}
 \item $A\times B=\{(a,b) \,\,|\,\, a\in A \mbox{ e } b\in B\}$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Sejam $A=\{\mbox{azul}, \mbox{verde}\}$ e $B=\{1,2,3\}$.
 
       $A\times B= \{(\mbox{azul},1), (\mbox{azul},2), (\mbox{azul},3),
       (\mbox{verde},1), (\mbox{verde},2), (\mbox{verde},3)\}$

\vspace*{3mm}
 \item Seja $P=$ o conjunto de todas as pessoas.
 
       $P\times \mbox{\bf N}= \{(p,n) \,\,|\,\, p \mbox{ \'e uma pessoa e $n$
       \'e um n\'umero natural}\}$

\vspace*{3mm}
 \item $\mbox{\bf R}\times \mbox{\bf R}= \mbox{\bf R}^2=\{(x,y) \,\,|\,\,\mbox{
       $x$ e $y$ s\~ao\ n\'umeros reias}\}$

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam os conjuntos $A$, $B$, e $C$. Ent\~ao:
        \begin{enumerate}
         \item $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
         \item $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
         \item $(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D)$
         \item $(A\times B)\cup(C\times D)\subseteq (A\cup C)\times(B\cup D)$
         \item $A\times\phi=\phi\times A=\phi$
        \end{enumerate}}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam os conjuntos $A$ e $B$. Ent\~ao $A\times B=B\times 
        A$ se, e somente se, $A=\phi$, $B=\phi$ ou $A=B$.}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Conjunto-verdade de $P(x,y)$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Suponha que $x$ varia sobre $A$ e $y$ sobre $B$. Ent\~ao o
        Conjunto-verdade de $P(x,y)$  \'e
        \[\{(a,b)\in A\times B \,\,|\,\, P(a,b)\}\mbox{.}\]
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item ``$x$ tem $y$ filhos'', onde $x$ varia sobre $P$ e $y$ sobre {\bf N}:
          \[\{(p,n)\in P\times \mbox{\bf N} \,\,|\,\, \mbox{$p$ tem $n$ filhos}
          \}\]
 \item ``$y=2x-3$'', onde $x$ e $y$ variam sobre {\bf R}:
          \[\{(x,y)\in \mbox{\bf N}^2 \,\,|\,\, y=2x-3\}\]
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
Rela\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao de $A$ para $B$ \'e um conjunto $R\subseteq A\times B$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4,5\}$
 
\vspace*{2mm}
       $R=\{(1,3),(1,5),(3,3)\}$

\vspace*{5mm}
 \item $G=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}^2\,\,|\,\, x>y\}$

\vspace*{5mm}
 \item $A=\{1,2\}$, $B={\cal P}(A)$
 
\vspace*{2mm}
       $E=\{(x,y)\in A\times B\,\,|\,\, x\in y\}$

\vspace*{5mm}
 \item $A=\mbox{ conjunto dos alunos de CC}$, \\
       $D=\mbox{ conjunto das disciplinas de CC}$, \\
       $P=\mbox{ conjunto dos professores de CC}$
 
\vspace*{2mm}
       $M=\{(a,d)\in A\times D\,\,|\,\, \mbox{ o aluno $a$ est\'a matriculado
       em $d$}\}$
 
\vspace*{2mm}
       $L=\{(p,d)\in P\times D\,\,|\,\, \mbox{ o professor $p$ leciona $d$}\}$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Algumas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
Seja uma rela\c c\~ao $R$ de $A$ para $B$. Ent\~ao:

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item O {\bf dom\'{\i}nio} de $R$ \'e:
      \[\mbox{Dom}(R)=\{a\in A\,\,|\,\, \exists b\in B[(a,b)\in R]\}\]

\vspace*{5mm}
 \item A {\bf imagem} de $R$ \'e:
      \[\mbox{Im}(R)=\{b\in B\,\,|\,\, \exists a\in A[(a,b)\in R]\}\]

\vspace*{5mm}
 \item A {\bf inversa} de $R$ \'e:
      \[R^{-1}=\{(b,a)\in B\times A\,\,|\,\, (a,b)\in R\}\]


\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Outra defini\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
Sejam duas rela\c c\~oes, $R$ de $A$ para $B$, e $S$ de $B$ para $C$. Ent\~ao:

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item A {\bf composi\c c\~ao} de $S$ e $R$ \'e a rela\c c\~ao $S\circ R$ de
       $A$ para $C$:
      \[S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\,\,|\,\, \exists b\in B[(a,b)\in R\,
      \mbox{ e }\, (b,c)\in S]\}\]

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $R$ uma rela\c c\~ao de $A$ para $B$, $S$ uma
        rela\c c\~ao de $B$ para $C$, e $T$ uma rela\c c\~ao de $C$ para $D$.
        Ent\~ao:
        \begin{enumerate}
         \item $(R^{-1})^{-1}=R$
         \item $\mbox{Dom}(R^{-1})=\mbox{Im}(R)$
         \item $\mbox{Im}(R^{-1})=\mbox{Dom}(R)$
         \item $T\circ (S\circ R)=(T\circ S)\circ R$
         \item $(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}$
        \end{enumerate}}
\end{description}



\end{document}
