\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{80}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Nota\c c\~ao infixada:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $x R y$ ao inv\'es de $(x,y)\in R$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Representa\c c\~ao gr\'afica de uma rela\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A$ e $B$ representados por ovais.
 
\vspace*{3mm}
 \item elementos de $A$ e de $B$ representados por pontos, denominados
       {\bf v\'ertices}, dentro das ovais respectivas.
 
\vspace*{3mm}
 \item $x R y$ representado por uma seta de $x$ para $y$, denominada
       {\bf aresta}.

\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo: $R=\{(1,3),(1,5),(3,3)\}$
\end{flushleft}
\noindent onde $A=\{1,2,3\}$ e $A=\{3,4,5\}$.

\vspace*{5mm}
\begin{picture}(300,180)(-45,0)
 \put(160,140){\makebox(0,0){$R$}}
 \put(100,80){\oval(60,120)}
 \put(100,150){\makebox(0,0){$A$}}
 \put(100,50){\makebox(0,0)[r]{3}}
 \put(105,50){\circle*{5}}
 \put(100,80){\makebox(0,0)[r]{2}}
 \put(105,80){\circle*{5}}
 \put(100,110){\makebox(0,0)[r]{1}}
 \put(105,110){\circle*{5}}

 \put(220,80){\oval(60,120)}
 \put(220,150){\makebox(0,0){$B$}}
 \put(220,50){\makebox(0,0)[l]{5}}
 \put(215,50){\circle*{5}}
 \put(220,80){\makebox(0,0)[l]{4}}
 \put(215,80){\circle*{5}}
 \put(220,110){\makebox(0,0)[l]{3}}
 \put(215,110){\circle*{5}}

 \put(110,110){\vector(1,0){100}}
 \put(110,105){\vector(2,-1){100}}
 \put(110,55){\vector(2,1){100}}
\end{picture}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Graficamente, como se determina:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $\mbox{Dom}(R)$?
 \item $\mbox{Im}(R)$?
 \item $R^{-1}$?
 \item $S\circ R$?
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Rela\c c\~ao sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item uma rela\c c\~ao de $A$ para $A$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A=\{1,2\}$, $B={\cal P}(A)=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
 
       $S=\{(x,y)\in B\times B \,\,|\,\, x\subseteq y\}$
       
 \item $A$: um conjunto qualquer.
 
       $i_A=\{(x,y)\in A\times A \,\,|\,\, x=y\}$
       
 \item Seja $r$ um n\'umero real positivo.
 
       $D_r=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}^2 \,\,|\,\, |x-y|<r\}$
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Representa\c c\~ao gr\'afica de uma rela\c c\~ao sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item representa-se os elementos de $A$ por meio de v\'ertices;
 
\vspace*{3mm}
 \item representa-se $x R y$ por uma seta de $x$ para $y$ -- uma aresta.

\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A=\{1,2\}$, $B={\cal P}(A)=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
 
       $S=\{(x,y)\in B\times B \,\,|\,\, x\subseteq y\}$
       
 \item Graficamente:

 \vspace*{5mm}
\begin{picture}(300,180)
 \put(200,150){\oval(20,20)}
 \put(200,140){\circle*{5}}
 \put(210,142){\makebox(0,0)[l]{$\{1,2\}$}}

 \put(200,20){\oval(20,20)}
 \put(200,30){\circle*{5}}
 \put(210,30){\makebox(0,0)[l]{$\phi$}}
 \put(200,35){\vector(0,1){100}}
 \put(195,35){\vector(-1,1){50}}
 \put(205,35){\vector(1,1){50}}

 \put(130,85){\oval(20,20)}
 \put(140,85){\circle*{5}}
 \put(133,74){\makebox(0,0)[tl]{$\{1\}$}}
 \put(145,90){\vector(1,1){50}}

 \put(270,85){\oval(20,20)}
 \put(260,85){\circle*{5}}
 \put(246,102){\makebox(0,0)[bl]{$\{2\}$}}
 \put(255,90){\vector(-1,1){50}}

 \put(350,80){(grafo dirigido)}

\end{picture}
       
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Propriedades de uma rela\c c\~ao $R$ sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\it Reflexividade\/}: $\forall x\in A (x R x)$
 \item {\it Simetria\/}: $\forall x\in A\forall y\in A(x R y\rightarrow y R x)$
 \item {\it Transitividade\/}: \\
       \hspace*{2cm}$\forall x\in A\forall y\in A\forall z\in A
       [(x R y\wedge y R z)\rightarrow x R z)$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Na representa\c c\~ao gr\'afica de $R$ sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\it Reflexividade\/}: {\bf la\c cos} em todos os v\'ertices.
 \item {\it Simetria\/}: se existe uma aresta de $x$ para $y$, existe uma
       aresta de $y$ para $x$.
 \item {\it Transitividade\/}: se existe uma aresta de $x$ para $y$ e uma
       aresta de $y$ para $z$, ent\~ao existe uma de $x$ para $z$.
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja uma rela\c c\~ao $R$ sobre $A$. Ent\~ao:

        \begin{enumerate}
         \item $R$ \'e reflexiva sse $i_A\subseteq R$
         \item $R$ \'e sim\'etrica sse $R=R^{-1}$
         \item $R$ \'e transitiva sse $R\circ R\subseteq R$
        \end{enumerate}}
\end{description}

\vspace*{15mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  Outra Propriedade de uma rela\c c\~ao $R$ sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\it Antissimetria\/}: $\forall x\in A\forall y\in A[(x R y\wedge y R x)
       \rightarrow x=y]$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $L=\{(x,y)\in {\bf R}^2 \,\,|\,\, x\leq y\}$
       
\vspace*{3mm}
 \item $M=\{(x,y)\in {\bf R}^2 \,\,|\,\, x<y\}$

\vspace*{3mm}
 \item $S=\{(x,y)\in B\times B \,\,|\,\, x\subseteq y\}$, onde
       $B={\cal P}(\{1,2\})$

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  Duas defini\c c\~oes importantes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao $R$ (sobre $A$) \'e uma {\bf ordem parcial} sse:
       \begin{itemize}
        \item \'e reflexiva;
        \item \'e transitiva; e
        \item \'e antissim\'etrica.
       \end{itemize}

\vspace*{5mm}
 \item Uma rela\c c\~ao $R$ (sobre $A$) \'e uma {\bf ordem total} sse:
       \begin{itemize}
        \item \'e uma ordem parcial; e
        \item $\forall x\in A\forall y\in A(x R y \vee y R x)$.
       \end{itemize}
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
\item Seja $A$ qualquer conjunto e $B={\cal P}(A)$.
 
      $S=\{(x,y)\in B\times B \,\,|\,\, x\subseteq y\}$
       
\vspace*{3mm}
\item Seja $A=\{1,2\}$ e $B={\cal P}(A)$.
 
      $R=\{(x,y)\in B\times B \,\,|\,\, |x| \leq |y|\}$


\vspace*{3mm}
 \item $D=\{(x,y)\in {\bf Z}^+\times {\bf Z}^+ \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e
       divis\'{\i}vel por $y$}\}$

\vspace*{3mm}
 \item $G=\{(x,y)\in {\bf R}\times {\bf R} \,\,|\,\, x\leq y\}$

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE
  Duas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
 Seja uma ordem parcial $R$ sobre $A$, $B\subseteq A$ e $b\in B$.
\begin{itemize}
 \item $b$ \'e um elemento $R$-{\bf menor} de $B$ sse $\forall x\in B (b R x)$.

\vspace*{5mm}
 \item $b$ \'e um elemento $R$-{\bf minimal} de $B$ sse $\neg\exists x\in B
       (x R b \wedge x\not=b)$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
\item $L=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}^2 \,\,|\,\, x\leq y\}$.

      $B=\{x\in \mbox{\bf R} \,\,|\,\, x\geq 7\}$.
       
      $C=\{x\in \mbox{\bf R} \,\,|\,\, x> 7\}$.
       
\vspace*{3mm}
\item $D=\{(x,y)\in {\bf Z}^+\times {\bf Z}^+ \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e
       divis\'{\i}vel por $y$}\}$

      $B=\{3,4,5,6,7,8,9\}$.

\vspace*{3mm}
 \item $S=\{(x,y)\in {\cal P}(\mbox{\bf N})\times {\cal P}(\mbox{\bf N})
        \,\,|\,\, x\subseteq y\}$

      ${\cal F}=\{x\in {\cal P}(\mbox{\bf N}) \,\,|\,\, 2\in x\wedge 3\in x\}$
       
      ${\cal G}=\{x\in {\cal P}(\mbox{\bf N}) \,\,|\,\, 2\in x\vee 3\in x\}$
       
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $R$ uma ordem parcial sobre $A$, e $B\subseteq A$.
        \begin{enumerate}
         \item Se $B$ tem um elemento menor, ent\~ao ele \'e \'unico. (Assim,
               pode-se falar n{\bf o menor} elemento de $B$, quando ele existe).
         \item Suponha que $b$ \'e o menor elemento de $B$. Ent\~ao $b$ \'e um
               elemento minimal de $B$; e \'e o \'unico elemento minimal de $B$.
         \item Se $R$ \'e uma ordem total, e $b$ \'e um elemento minimal de $B$,
               tem $b$ \'e o menor elemento de $B$.
        \end{enumerate}}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE
  Duas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
 Seja uma ordem parcial $R$ sobre $A$, $B\subseteq A$ e $b\in B$.
\begin{itemize}
 \item $b$ \'e um elemento $R$-{\bf maior} de $B$ sse $\forall x\in B (x R b)$.

\vspace*{5mm}
 \item $b$ \'e um elemento $R$-{\bf maximal} de $B$ sse $\neg\exists x\in B
       (b R x \wedge x\not=b)$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE
  Mais duas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
 Seja uma ordem parcial $R$ sobre $A$, $B\subseteq A$ e $a\in A$.
\begin{itemize}
 \item $a$ \'e um {\bf limite inferior} para $B$ sse $\forall x\in B (a R x)$.

\vspace*{5mm}
 \item $a$ \'e um {\bf limite superior} para $B$ sse $\forall x\in B (x R a)$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE
  Outras duas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
 Seja uma ordem parcial $R$ sobre $A$, $B\subseteq A$ e $a\in A$. Seja $S$ o
 conjunto de todos os limites superiores para $B$, e $I$ o conjunto de todos os
 limites inferiores.
\begin{itemize}
 \item Se $S$ tem o menor elemento, este \'e chamado o {\bf menor limite
       superior} de $B$ {\it (l.u.b. -- least upper bound)}.

\vspace*{5mm}
 \item Se $I$ tem o maior elemento, este \'e chamado o {\bf maior limite
       inferior} de $B$ {\it (g.l.b. -- greatest lower bound)}.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
\item $L=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}^2 \,\,|\,\, x\leq y\}$.

      $B=\{1/n \,\,|\,\, n\in\mbox{\bf Z}^+\}$.
       
\vspace*{3mm}
 \item $S=\{(x,y)\in {\cal P}(\mbox{\bf N})\times {\cal P}(\mbox{\bf N})
        \,\,|\,\, x\subseteq y\}$

      ${\cal T}=\{x\in {\cal P}(\mbox{\bf N}) \,\,|\,\, x\subseteq \{1,2,3\}\}$
       
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja um conjunto $A$, ${\cal F}\subseteq {\cal P}(A)$, e
         ${\cal F}\not=\phi$. Ent\~ao o menor limite superior de ${\cal F}$ (na
         ordem parcial ``$\subseteq$'') \'e $\cup {\cal F}$, e o maior limite
         inferior \'e $\cap {\cal F}$.}
\end{description}


\end{document}


