\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{89}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fechamento Reflexivo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao $S\subseteq A\times A$ \'e o {\bf fechamento reflexivo} de $R$ sse:
 
       \begin{enumerate}
        \item $R\subseteq S$.
        \item $S$ \'e reflexiva.
        \item Para toda $T\subseteq A\times A$, se $R\subseteq T$ e $T$ \'e reflexiva, $S\subseteq T$.
       \end{enumerate}
       
 \item Ou seja: $S$ \'e a {\em menor rela\c c\~ao reflexiva\/} que cont\'em $R$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Toda rela\c c\~ao tem fechamento reflexivo.}

        (Mostra-se que $R\cup i_A$ \'e o fechamento reflexivo de $R$.)
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo: $P=\{(X,Y)\in {\cal P}(A)\times{\cal P}(A)\,\,|\,\, X\subset Y\}$.
\end{flushleft}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Mais uma propriedade de uma rela\c c\~ao $R$ sobre $A$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item {\it Irreflexividade\/}: $\forall x\in A (x,x)\not\in R$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Mais dois tipos de ordens:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao $R$ (sobre $A$) \'e uma {\bf ordem parcial estrita} sse:
 
       \begin{itemize}
        \item \'e irreflexiva; e
        \item \'e transitiva.
       \end{itemize}

 \item Uma rela\c c\~ao $R$ (sobre $A$) \'e uma {\bf ordem total estrita} sse:
 
       \begin{itemize}
        \item \'e uma ordem parcial estrita; e
        \item $\forall x\in A\forall y\in A(x R y \vee y R x \vee x=y)$.
       \end{itemize}

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fechamento Sim\'etrico:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao $S\subseteq A\times A$ \'e o {\bf fechamento sim\'etrico} de $R$ sse:
 
       \begin{enumerate}
        \item $R\subseteq S$.
        \item $S$ \'e sim\'etrica.
        \item Para toda $T\subseteq A\times A$, se $R\subseteq T$ e $T$ \'e sim\'etrica, $S\subseteq T$.
       \end{enumerate}
       
 \item Ou seja: $S$ \'e a {\em menor rela\c c\~ao sim\'etrica\/} que cont\'em $R$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Toda rela\c c\~ao tem fechamento sim\'etrico.}

        (Mostra-se que $R\cup R^{-1}$ \'e o fechamento sim\'etrico de $R$.)
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplo: $H=\{(x,y)\in P\times P\,\,|\,\, x \mbox{ odeia } y\}$.
 
 \hspace*{3.5cm} $P$: conjunto das pessoas.
\end{flushleft}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fechamento Transitivo:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Uma rela\c c\~ao $S\subseteq A\times A$ \'e o {\bf fechamento transitivo} de $R$ sse:
 
       \begin{enumerate}
        \item $R\subseteq S$.
        \item $S$ \'e transitiva.
        \item Para toda $T\subseteq A\times A$, se $R\subseteq T$ e $T$ \'e transitiva, $S\subseteq T$.
       \end{enumerate}
       
 \item Ou seja: $S$ \'e a {\em menor rela\c c\~ao transitiva\/} que cont\'em $R$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Toda rela\c c\~ao tem fechamento transitivo.}

        (Mostra-se que $\bigcup_{n\in\mbox{\bf Z}^+} R^{n}$ \'e o fechamento transitivo de $R$.)
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE
 {\bf Exemplo}: $B=\{(x,y)\in C\times C\,\,|\,\,$ \\
\hspace*{2cm}  $\mbox{h\'a linha de \^onibus direta de $x$ para $y$}\}$.
 
 \hspace*{3.5cm} $C$: conjunto das cidades.
\end{flushleft}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  Rela\c c\~ao de equival\^encia:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $R$ \'e uma {\bf rela\c c\~ao de equival\^encia} sobre $A$ sse:
       \begin{itemize}
        \item \'e reflexiva;
        \item \'e transitiva; e
        \item \'e sim\'etrica.
       \end{itemize}
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
\item $i_A$.
       
\vspace*{3mm}
\item Seja $P$ o conjunto das pessoas.
 
      $B=\{(p,q)\in P\times P \,\,|\,\, \mbox{$p$ e $q$ aniversariam no mesmo dia}\}$.


\vspace*{3mm}
 \item $D_6=\{(x,y)\in \mbox{\bf N}\times \mbox{\bf N} \,\,|\,\, x \mbox{ mod } 6=y \mbox{ mod } 6\}$

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  O conceito de Parti\c c\~ao:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Seja $A\not=\{\}$. ${\cal F}$ \'e uma {\bf parti\c c\~ao} de $A$ sse:
       \begin{enumerate}
        \item $\cup {\cal F}=A$;
        \item $\forall X\in{\cal F}\forall Y\in{\cal F}(X\not= Y\rightarrow X\cap Y=\{\})$; e
        \item $\forall X\in{\cal F} X\not=\{\}$.
       \end{enumerate}
\end{itemize}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  O conceito de Classe de Equival\^encia:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Seja $R$ uma rela\c c\~ao de equival\^encia sobre $A$ e $x\in A$. A {\bf classe de
       equival\^encia} de $x$ relativa a $R$ \'e:
       \[[x]_R=\{y\in A\,\,|\,\, y R x\}\mbox{.}\]
\end{itemize}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
  $A$ {\bf m\'odulo} $R$:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $A/R=\{[x]_R\,\,|\,\,x\in A\}=\{X\subseteq A\,\,|\,\, \exists x\in A(X=[x]_R)\}$.
\end{itemize}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft} \LARGE
  {\bf Exemplo}: $S=\{(x,y)\in\mbox{\bf R}\times\mbox{\bf R}\,\,|\,\, x-y\in\mbox{\bf Z}\}$:
\end{flushleft}


\pagebreak
\vspace*{10mm}

\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $R$ uma rela\c c\~ao de equival\^encia sobre $A$. Ent\~ao $A/R$ \'e
                  uma parti\c c\~ao de $A$.}
\end{description}

\vspace*{20mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja ${\cal F}$ uma parti\c c\~ao do conjunto $A$. Ent\~ao existe uma
         rela\c c\~ao de equival\^encia $R$ sobre $A$ tal que $A/R={\cal F}$.}

        (Mostra-se que $R=\bigcup_{X\in{\cal F}} (X\times X)$ \'e tal rela\c c\~ao.)
\end{description}


\end{document}


