\documentstyle[12pt]{artigo} 

\setcounter{page}{89}
\newcounter{conta}
\setlength{\topmargin}{-40pt}
\begin{document} \Large

\begin{center} \LARGE\bf
 FUN\c C\~OES
\end{center}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fun\c c\~ao $f$ de $A$ para $B$ ($f\!:A\rightarrow B$):
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Rela\c c\~ao de $A$ para $B$ tal que para
todo $a\in A$ existe exatamente um $b\in B$ tal que $(a,b)\in f$.}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $F=\{(1,5),(2,4),(3,5)\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{4,5,6\}$.

\vspace*{5mm}
 \item $G=\{(a,m)\in A\times M \,\,|\,\, \mbox{$m$ \'e a m\~ae de $a$}\}$,
       $A$: conjunto de todos os alunos da UFMG,  $M$: conjunto de todas as
       mulheres.

\vspace*{5mm}
 \item $H=\{(p,x)\in P\times {\cal P}(P) \,\,|\,\, \mbox{$x$ \'e o conjunto de
       filhos de $p$}\}$, $P$: conjunto de todas as pessoas.

\vspace*{5mm}
 \item $i_A=\{(a,a) \,\,|\,\, a\in A\}$, $A$: um conjunto qualquer.

\vspace*{5mm}
 \item $f=\{(x,y)\in\mbox{\bf R}\times\mbox{\bf R} \,\,|\,\, y=x^2\}$.

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Seja $f\!:A\rightarrow B$. S\~ao express\~oes equivalentes:
\end{flushleft}
 
\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $(a,b)\in f$
 \item $b$ \'e o valor de $f$ em $a$
 \item $b$ \'e a imagem de $a$ sob $f$
 \item $b$ \'e o resultado de aplicar $f$ a $a$
 \item $b$ \'e $f$ de $a$
 \item $b=f(a)$
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 $f(a)$ pode ser especificado com uma ``regra'':
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $h=\{(p,a)\in P\times\mbox{\bf R}^+ \,\,|\,\, a=h(p)\}$ \\
        \hspace*{5mm}$=\{(p,a)\in P\times\mbox{\bf R}^+ \,\,|\,\, \mbox{$a=$ 
         altura de $p$ em cent\'{\i}metros}\}$.

\vspace*{5mm}
 \item $o=\{(e,p)\in E\times P \,\,|\,\, p=o(e)\}$ \\
        \hspace*{5mm}$=\{(e,p)\in E\times P \,\,|\,\, \mbox{o professor $p$ \'e
         orientador do aluno $e$}\}$.

\vspace*{5mm}
 \item Seja a regra $g(x)=2x+3$, para todo $x\in\mbox{\bf Z}$. \\
       $g=\{(x,y)\in \mbox{\bf Z}\times \mbox{\bf R} \,\,|\,\, y=g(x)\}$ \\
        \hspace*{5mm}$=\{(x,y)\in \mbox{\bf Z}\times \mbox{\bf R} \,\,|\,\,
         y=2x+3\}$ \\
         \hspace*{5mm}$=\{\ldots,(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7),\ldots\}$.

\vspace*{5mm}
 \item Seja a regra $g(x)=2x+3$, para todo $x\in\mbox{\bf R}$. \\
       $g=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}\times \mbox{\bf R} \,\,|\,\, y=g(x)\}$ \\
        \hspace*{5mm}$=\{(x,y)\in \mbox{\bf R}\times \mbox{\bf R} \,\,|\,\,
         y=2x+3\}$.
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Suponha que $f$ e $g$ sejam fun\c c\~oes de $A$ para $B$.
        Se $\forall a\in A (f(a)=g(a))$, ent\~ao $f=g$.}

\vspace*{5mm}
 \item[Duas formas de provar $f=g$:] \
 
      \begin{itemize}
       \item Provar ``literalmente'' $f=g$.
       \item Usar o teorema acima, ou seja, provar:
             \[\forall a\in A (f(a)=g(a))\mbox{.}\]
      \end{itemize}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Dom\'{\i}nio e imagem:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{flushleft}
Seja uma fun\c c\~ao $f\!:A\rightarrow B$.
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item {\bf Dom\'{\i}nio} de $f$: $\mbox{Dom}(f)=A$.
 \item {\bf Imagem} de $f$: $\mbox{Im}(f)=\{f(a) \,\,|\,\, a\in A\}$.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Diagramas de fun\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Como os de rela\c c\~oes.
\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Composi\c c\~ao de fun\c c\~oes:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Como a de rela\c c\~oes.
\end{itemize}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Suponha duas fun\c c\~oes $f\!:A\rightarrow B$ e
        $g\!:B\rightarrow C$. Ent\~ao
        $g\circ f\!:A\rightarrow C$ e, para qualquer $a$, $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Exemplos:
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item Sejam $g\!:\mbox{\bf Z}\rightarrow \mbox{\bf R}$ definida por
       $g(x)=2x+3$, e $f\!:\mbox{\bf Z}\rightarrow \mbox{\bf Z}$ definida por
       $f(n)=n^2-3n+1$. Ent\~ao $g\circ f\!:\mbox{\bf Z}\rightarrow \mbox{\bf R}$,
       e para todo $n\in \mbox{\bf Z}$:
       \[(g\circ f)(n)=g(f(n))=g(n^2-3n+1)=2(n^2-3n+1)+3\mbox{.}\]

\end{itemize}

\pagebreak
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fun\c c\~ao $f\!:A\rightarrow B$ injetiva ({\it one-to-one}):
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it $f$ \'e injetiva se, e somente se,
              \[\neg\exists a_1\in A\exists a_2\in A(f(a_1)=f(a_2)\wedge a_1
              \not=a_2)\mbox{.}\]}}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fun\c c\~ao $f\!:A\rightarrow B$ sobrejetiva ({\it onto}):
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it $f$ \'e sobretiva se, e somente se,
              \[\forall b\in B\exists a\in A(f(a)=b)\mbox{.}\]}}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $f\!:A\rightarrow B$.
        \begin{enumerate}
         \item $f$ \'e injetiva sse \\
               \hspace*{2cm} $\forall a_1\in A\forall a_2\in A(f(a_1)=
               f(a_2)\rightarrow a_1=a_2)$.
         \item $f$ \'e sobrejetiva sse $\mbox{\rm Im}(f)=B$.
        \end{enumerate}}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Exemplo.] Seja $A=\mbox{\bf R}\backslash \{-1\}$, e seja
       $f\!:A\rightarrow B$ definida por: \[f(a)=\frac{2a}{a+1}\mbox{.}\]
       Prove que $f$ \'e injetiva, mas n\~ao sobrejetiva.
\end{description}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Sejam $f\!:A\rightarrow B$ e $g\!:B\rightarrow C$. Como j\'a
        visto, segue-se que $g\circ f\!:A\rightarrow C$.
        \begin{enumerate}
         \item Se $f$ e $g$ s\~ao ambas injetivas, $g\circ f$ tamb\'em \'e.
         \item Se $f$ e $g$ s\~ao ambas sobrejetivas, $g\circ f$ tamb\'em \'e.
        \end{enumerate}}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{flushleft} \LARGE\bf
 Fun\c c\~ao bijetiva (correspond\^encia um-para-um):
\end{flushleft}

\vspace*{5mm}
\hspace*{1cm}\fbox{\parbox{13cm}{\it Aquela que \'e injetiva e sobretiva.}}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Exemplo.] Seja $A=\mbox{conjunto}$ de todos os espectadores de um
       concerto com lota\c c\~ao esgotada, e $S=\mbox{conjunto}$ de todas as
       poltronas da sala. Seja $f\!:A\rightarrow S$ definida por:
       \[f(a)=\mbox{poltrona em que $a$ est\'a sentado.}\]
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $f\!:A\rightarrow B$. \[\mbox{Se $f$ \'e bijetiva,
        ent\~ao $f^{-1}:B\rightarrow A$.}\]}
\end{description}

\end{document}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Exemplo.] Seja $A=\mbox{conjunto}$ de todos os espectadores de um
       concerto com lota\c c\~ao esgotada, e $S=\mbox{conjunto}$ de todas as
       poltronas da sala. Seja $f\!:A\rightarrow S$ definida por:
       \[f(a)=\mbox{poltrona em que $a$ est\'a sentado.}\]
       $f^{-1}:S\rightarrow A$. Para cada $s\in S$:
       \begin{tabbing}
        $f^{-1}(s)$\=$=$ o \a'unico $a\in A$ tal que $f(a)=s$ \\
        \>$=$ a pessoa que est\a'a sentada na poltrona $s$.
       \end{tabbing}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $f\!:A\rightarrow B$, e suponha que $f^{-1}$ \'e uma
       fun\c c\~ao de $B$ para $A$. Ent\~ao $f^{-1}\circ f=i_A$ e $f\circ
       f^{-1}=i_B$.}
\end{description}

\vspace*{10mm}
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $f\!:A\rightarrow B$. Ent\~ao:
       \begin{enumerate}
        \item Se existe uma fun\c c\~ao $g\!:B\rightarrow A$ tal que
              $g\circ f=i_A$ ent\~ao $f$ \'e injetiva.
        \item Se existe uma fun\c c\~ao $g\!:B\rightarrow A$ tal que
              $f\circ g=i_B$ ent\~ao $f$ \'e sobrejetiva.
       \end{enumerate}}
\end{description}

\pagebreak
\begin{description}
 \item[Teorema.] {\it Seja $f\!:A\rightarrow B$. Ent\~ao as seguintes afirmativas
       s\~ao equivalentes:
       \begin{enumerate}
        \item $f$ \'e bijetiva.
        \item $f^{-1}:B\rightarrow A$.
        \item Existe uma fun\c c\~ao $g\!:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=i_A$ e
              $f\circ g=i_B$. 
       \end{enumerate}}
\end{description}



\end{document}
