\documentstyle[12pt]{artigo}
 
\newcounter{conta}
\newcounter{conta2}
\begin{document}

\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o
\hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2000 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \hfill http://www.dcc.ufmg.br/\verb+~+nvieira \\
{\bf Segunda Lista de Exerc\'{\i}cios}


\noindent {\bf Data de entrega:} 22/03/00.

\vspace*{.5cm}
Resolva os exerc\'{\i}cios abaixo, extra\'{\i}dos do livro texto.

\begin{description}
 \item[Se\c c\~ao 1.3] \ 

 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item 3 \'e um divisor comum de 6, 9 e 15.
              \item $x$ \'e divis\'{\i}vel por ambos, 2 e 3, mas n\~ao por 4.
              \item $x$ e $y$ s\~ao n\'umeros naturais, e exatamente um deles \'e
                    primo.
              \item $x$ e $y$ s\~ao homens e, ou $x$ \'e maior que $y$ ou $y$
                    \'e maior que $x$.
             \end{list}
   \item[3.] Simplifique as afirmativas que seguem. Quais vari\'aveis s\~ao livres
             e quais s\~ao ligadas? Se a afirmativa n\~ao tem vari\'aveis livres,
             diga se ela \'e verdadeira ou falsa.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $-3\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>1\}$.
              \item $5\not\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>c\}$.
              \item $w\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>c\}$.
              \item $4\in\{x\in\{y\,\,|\,\, \mbox{$y$ \'e primo}\}\,\,|\,\,
                     13-2x>1\}$. (Tal afirmativa pode ficar mais f\'acil de ler
                     se fizermos $P=\{y\,\,|\,\, \mbox{$y$ \'e primo}\}$; usando
                     tal nota\c c\~ao, podemos reescrever a afirmativa como
                     $4\in\{x\in P\,\,|\,\, 13-2x>1\}$.)
             \end{list}
  \end{enumerate}
  
 \item[Se\c c\~ao 1.4] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[4.] Verifique as identidades seguintes dizendo o que significa um
             objeto $x$ pertencer a cada conjunto (usando s\'{\i}mbolos
             l\'ogicos) e usando equival\^encias l\'ogicas.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $A\backslash (A\cap B)=A\backslash B$.
              \item $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$.
              \item $(A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup(B\backslash C)$.
             \end{list}
   \item[5.] Para cada um dos conjuntos a seguir, diga (usando s\'{\i}mbolos
             l\'ogicos) o que significa um objeto $x$ ser elemento do conjunto.
             Em seguida, determine quais destes conjuntos s\~ao iguais entre si
             determinando que afirmativas s\~ao equivalentes.
              \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
               \item $(A\backslash B)\backslash C$.
               \item $A\backslash (B\backslash C)$.
               \item $(A\backslash B)\cup(A\cap C)$.
               \item $(A\backslash B)\cap(A\backslash C)$.
               \item $A\backslash (B\cup C)$.
              \end{list}
   \item[8.] \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Fa\c ca diagramas de Venn para os conjuntos
                    $(A\cup B)\backslash C$ e $A\cup(B\backslash C)$. \'E
                    poss\'{\i}vel, a partir dos diagramas, concluir se um destes
                    conjuntos \'e necessariamente um subconjunto do outro?
              \item D\^e um exemplo de conjuntos $A$, $B$ e $C$ para os quais
                    $(A\cup B)\backslash C\not= A\cup(B\backslash C)$.
             \end{list}
  \end{enumerate}

 \item[Se\c c\~ao 1.5] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[2.] Analise a forma l\'ogica da seguinte afirmativa:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Se est\'a chovendo, ent\~ao est\'a ventando e n\~ao est\'a
                    ensolarado.
             \end{list}
             Agora analise as seguintes afirmativas. E, para cada uma delas,
             determine se ela \'e equivalente a (a) ou \`a rec\'{\i}proca de (a).
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item[(b)] Est\'a ventando e n\~ao est\'a ensolarado somente se est\'a
                    chovendo.
              \item[(c)] Estar chovendo \'e uma condi\c c\~ao suficiente para 
                       estar ventando e sem sol.
              \item[(d)] Estar chovendo \'e uma condi\c c\~ao necess\'aria para
                       estar ventando e sem sol.
              \item[(e)] N\~ao est\'a chovendo, se est\'a ensolarado ou n\~ao est\'a
                       ventando.
              \item[(f)] Estar ventando \'e uma condi\c c\~ao necess\'aria para
                        estar chovendo, assim como a falta de sol.
              \item[(g)] Ou est\'a ventando somente se est\'a chovendo, ou
                         n\~ao est\'a ensolarado somente se est\'a chovendo. 
             \end{list}
   \item[4.] \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Mostre que $P\leftrightarrow Q$ \'e equivalente a
                        $(P\wedge Q)\vee(\neg P\wedge\neg Q)$.
              \item Mostre que $(P\rightarrow R)\wedge(Q\rightarrow R)$ \'e
                    equivalente a $(P\vee Q)\rightarrow R$.
             \end{list}
   \item[6.] Quais das seguintes f\'ormulas s\~ao equivalentes?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$.
              \item $Q\rightarrow(P\rightarrow R)$.
              \item $(P\rightarrow Q)\wedge(P\rightarrow R)$.
              \item $(P\wedge Q)\rightarrow R$.
              \item $P\rightarrow(Q\wedge R)$.
             \end{list}
  \end{enumerate}
\end{description}

\end{document}