\documentstyle[12pt]{article}
 
\newcounter{conta}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\noindent {Bacharelado em Ci\^encia da Computa\c c\~ao} \hfill DCC/ICEx/UFMG

\noindent {\em Matem\'atica Discreta} \hfill $2^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2000

\noindent Professor: Newton Jos\'e Vieira

\noindent {\bf Segunda Prova} \hfill 24/10/2000

\vspace*{.5cm}
\noindent {\bf Valores das quest\~oes\/}: 3 pontos cada uma.

\vspace*{.5cm}
\noindent {\bf Nota\c c\~ao:} ${\cal P}(A)$ \'e o {\em conjunto pot\^encia\/} de $A$.

\vspace*{.2cm}
\begin{enumerate}
 \item Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ conjuntos quaisquer. Prove que se $A\subseteq B$ e $C\subseteq D$,
       ent\~ao $A\cap C\subseteq B\cap D$.

 \item Mostre o que h\'a de errado com a seguinte prova:
       \begin{quote}
        {\bf Teorema.} {\em Sejam $x$ e $y$ n\'umeros reais. Se $x^2+y=13$ e $x\not= 3$, ent\~ao
                       $y\not= 4$.}

        {\em Prova.\/} Suponha que $x^2+y=13$ e $x\not=3$. Suponha que $y=4$. Neste caso, tem-se
                       que $x^2+4=13$ e, portanto, $x^2=9$; assim, $x=3$ ou $x=-3$, o que contradiz
                       o fato de que $x\not=3$. Portanto, $y\not=4$. Conclus\~ao:
                       se $x^2+y=13$ e $x\not= 3$, ent\~ao $y\not= 4$
       \end{quote}
     
 \item Suponha que ${\cal F}$ e ${\cal G}$ s\~ao fam\'{\i}lias de conjuntos. Prove que ${\cal F}$ e
       ${\cal G}$ s\~ao disjuntas ou $\cap({\cal F})\subseteq \cup({\cal G})$.
       
 \item Prove que se $A\subseteq B\backslash C$ e $A$ n\~ao \'e o conjunto vazio, ent\~ao
       $B\not\subseteq C$.
       
 \item Prove que para quaisquer conjuntos $A$ e $B$,
         ${\cal P}(A)\cup{\cal P}(B)\subseteq{\cal P}(A\cup B)$.

\end{enumerate}


\end{document}