\documentstyle[12pt]{article}
 
\newcounter{conta}
\newcounter{conta2}
\begin{document} \footnotesize

\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o
\hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \hfill http://www.dcc.ufmg.br/\verb+~+nvieira \\
{\bf Primeira Lista de Exerc\'{\i}cios}

\vspace*{.5cm}
Resolva os exerc\'{\i}cios abaixo, extra\'{\i}dos do livro texto.

\begin{description}
 \item[Se\c c\~ao 1.1] \ 

 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Teremos uma sess\~ao de estudos ou de resolu\c c\~ao de problemas, mas n\~ao teremos ambos
                    resolu\c c\~ao de problemas e teste.
              \item Ou Jo\~ao e Bill est\~ao ambos dizendo a verdade, ou nenhum deles est\'a.
              \item Voc\^e n\~ao vai esquiar, ou voc\^e vai e n\~ao haver\'a neve.
              \item Vou comer peixe ou frango, mas n\~ao vou comer ambos peixe e pur\^e.
              \item $\sqrt{7}\not\leq 2$.
              \item 3 \'e um divisor comum de 6, 9 e 15.
             \end{list}

   \item[4.] Identifique as premissas e conclus\~oes dos seguintes argumentos e analise suas formas
             l\'ogicas. Voc\^e acha que o racioc\'{\i}nio \'e v\'alido?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Jane e Pete n\~ao ganhar\~ao, ambos, o trof\'eu de matem\'atica. Pete ganhar\'a
                    o trof\'eu de matem\'atica ou o de qu\'{\i}mica. Jane ganhar\'a o trof\'eu de
                    matem\'atica. Portanto, Pete ganhar\'a o trof\'eu de qu\'{\i}mica.
              \item O prato principal ser\'a carne de boi ou peixe. A salada ser\'a de ervilhas ou de
                    milho. N\~ao teremos ambos peixe como prato principal e salada de milho. Portanto,
                    n\~ao teremos ambos carne de boi como prato principal e salada de ervilhas.
              \item John ou Bill est\'a dizendo a verdade. Sam ou Bill est\'a mentindo. Portanto,
                    John est\'a dizendo a verdade ou Sam est\'a mentindo.
              \item Ou as vendas ir\~ao aumentar e o chefe vai ficar satisfeito, ou as despesas ir\~ao
                    aumentar e o chefe n\~ao vai ficar satisfeito. Portanto, as vendas e as despesas
                    n\~ao v\~ao ambos aumentar.
             \end{list}
  \end{enumerate}
 \item[Se\c c\~ao 1.2] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[2.]  Neste exerc\'{\i}cio usaremos o s\'{\i}mbolo $+$ para significar {\em ou exclusivo\/}. Em
              outras palavras, $P+Q$ significa ``$P$ ou $Q$, mas n\~ao ambos''.
              \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
               \item Fa\c ca uma tabela da verdade para $P+Q$.
               \item Encontre uma f\'ormula usando apenas os conectivos $\wedge$, $\vee$ e $\neg$ que seja
                     equivalente a $P+Q$. Justifique sua resposta com uma tabela da verdade.
              \end{list}
   \item[5.]  Use tabelas da verdade para determinar se os argumentos do e\-xer\-c\'{\i}\-cio 4 da Se\c c\~ao
              1.1 s\~ao v\'alidos.
   \item[7.]  Use tabelas da verdade para determinar quais das seguintes afirmativas s\~ao
              tautologias, quais s\~ao contradi\c c\~oes e quais n\~ao s\~ao nem uma coisa nem outra:
              \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
               \item $(P\vee Q)\wedge(\neg P\vee\neg Q)$
               \item $(P\vee Q)\wedge(\neg P\wedge\neg Q)$
               \item $(P\vee Q)\vee(\neg P\vee\neg Q)$
               \item $[P\vee(Q\vee\neg R)]\vee(\neg P\vee R)$
              \end{list}
   \item[9.] Use as leis enunciadas no texto para encontrar f\'ormulas mais simples e\-qui\-va\-len\-tes \`as
             seguintes f\'ormulas. (Veja Exemplos 1.2.5 e 1.2.7.)
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\neg(\neg P\wedge\neg Q)$
              \item $\neg(\neg P\vee Q)\vee(P\wedge \neg R)$
              \item $(P\wedge Q)\vee(P\wedge\neg Q)$
              \item $(P\wedge R)\vee[\neg R\wedge(P\vee Q)]$
             \end{list}
   \item[10.] Use a primeira lei de DeMorgan e a lei da nega\c c\~ao dupla para derivar a segunda lei de
              DeMorgan.
   \item[14.] Suponha que a conclus\~ao de um argumento seja uma tautologia. O que voc\^e pode concluir
              sobre a validade de tal argumento? E se a conclus\~ao for uma contradi\c c\~ao? E se
              uma das premissas for uma tautologia? E se uma das premissas for uma contradi\c c\~ao?
  \end{enumerate}

 \item[Se\c c\~ao 1.3] \ 

  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item 3 \'e um divisor comum de 6, 9 e 15.
              \item $x$ \'e divis\'{\i}vel por ambos, 2 e 3, mas n\~ao por 4.
              \item $x$ e $y$ s\~ao n\'umeros naturais, e exatamente um deles \'e
                    primo.
              \item $x$ e $y$ s\~ao homens e, ou $x$ \'e maior que $y$ ou $y$
                    \'e maior que $x$.
             \end{list}
   \item[3.] Simplifique as afirmativas que seguem. Quais vari\'aveis s\~ao livres
             e quais s\~ao ligadas? Se a afirmativa n\~ao tem vari\'aveis livres,
             diga se ela \'e verdadeira ou falsa.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $-3\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>1\}$.
              \item $5\not\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>c\}$.
              \item $w\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, 13-2x>c\}$.
              \item $4\in\{x\in\{y\,\,|\,\, \mbox{$y$ \'e primo}\}\,\,|\,\,
                     13-2x>1\}$. (Tal afirmativa pode ficar mais f\'acil de ler
                     se fizermos $P=\{y\,\,|\,\, \mbox{$y$ \'e primo}\}$; usando
                     tal nota\c c\~ao, podemos reescrever a afirmativa como
                     $4\in\{x\in P\,\,|\,\, 13-2x>1\}$.)
             \end{list}
   \item[4.] Quais s\~ao os conjuntos verdade das seguintes afirmativas? Liste alguns elementos
             de cada conjunto verdade, se puder.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Elizabeth Taylor foi casada com $x$.
              \item $x$ \'e um n\'umero real e $x^2-4x+3=0$.
              \item $x$ \'e um n\'umero real e $x^2-2x+3=0$.
              \item $5\in\{y\,\,|\,\, x^2+y^2<50\}$.
             \end{list}
  \end{enumerate}
  
 \item[Se\c c\~ao 1.4] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Sejam $A=\{1,3,12,35\}$, $B=\{3,7,12,20\}$ e $C=\{x\,\,|\,\, x \mbox{ \'e um n\'umero primo}\}$.
             Liste os elementos dos conjuntos abaixo. Dentre eles, existe conjunto que seja disjunto de
             todos os outros? Dentre eles, existe conjunto que seja subconjunto de
             todos os outros?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $A\cap B$.
              \item $A\backslash B$.
              \item $(A\cup B)\backslash C$.
              \item $A\cup (B\backslash C)$.
             \end{list}
   \item[4.] Verifique as identidades seguintes dizendo o que significa um
             objeto $x$ pertencer a cada conjunto (usando s\'{\i}mbolos
             l\'ogicos) e u\-san\-do equival\^encias l\'ogicas.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $A\backslash (A\cap B)=A\backslash B$.
              \item $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$.
              \item $(A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup(B\backslash C)$.
             \end{list}
   \item[5.] Para cada um dos conjuntos a seguir, diga (usando s\'{\i}mbolos
             l\'ogicos) o que significa um objeto $x$ ser elemento do conjunto.
             Em seguida, determine quais destes conjuntos s\~ao iguais entre si
             determinando que afirmativas s\~ao e\-qui\-va\-len\-tes.
              \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
               \item $(A\backslash B)\backslash C$.
               \item $A\backslash (B\backslash C)$.
               \item $(A\backslash B)\cup(A\cap C)$.
               \item $(A\backslash B)\cap(A\backslash C)$.
               \item $A\backslash (B\cup C)$.
              \end{list}
   \item[8.] \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Fa\c ca diagramas de Venn para os conjuntos
                    $(A\cup B)\backslash C$ e $A\cup(B\backslash C)$. \'E
                    poss\'{\i}vel, a partir dos diagramas, concluir se um destes
                    conjuntos \'e necessariamente um subconjunto do outro?
              \item D\^e um exemplo de conjuntos $A$, $B$ e $C$ para os quais
                    $(A\cup B)\backslash C\not= A\cup(B\backslash C)$.
             \end{list}
  \end{enumerate}

 \item[Se\c c\~ao 1.5] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Se este g\'as tem um cheiro desagrad\'avel ou n\~ao \'e explosivo, ent\~ao n\~ao
                    \'e hidrog\^enio.
              \item Mary vai vender sua casa somente se ela conseguir um bom pre\c co e encontrar um
                    bom apartamento.
              \item John vai se matar, a menos que algu\'em o impe\c ca. (Dica: Primeiramente,
                    reformule a frase usando as palavras {\em se\/} e {\em ent\~ao\/} em vez de
                    {\em a menos que\/}.)
              \item Ter ambos, febre e dor de cabe\c ca, \'e uma condi\c c\~ao suficiente para George
                    ir ao m\'edico.
              \item Ter febre e ter dor de cabe\c ca s\~ao condi\c c\~oes suficientes para George ir
                    ao m\'edico.
              \item Se $x$ \'e divis\'{\i}vel por 4 ou por 6, ent\~ao n\~ao \'e primo.
              \item Se $x\not=2$, ent\~ao uma condi\c c\~ao necess\'aria para $x$ ser primo \'e que
                    $x$ seja \'{\i}mpar.
             \end{list}
   \item[2.] Analise a forma l\'ogica da seguinte afirmativa:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Se est\'a chovendo, ent\~ao est\'a ventando e n\~ao est\'a
                    ensolarado.
             \end{list}
             Agora analise as seguintes afirmativas. E, para cada uma delas,
             determine se ela \'e equivalente a (a) ou \`a rec\'{\i}proca de (a).
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item[(b)] Est\'a ventando e n\~ao est\'a ensolarado somente se est\'a
                    chovendo.
              \item[(c)] Estar chovendo \'e uma condi\c c\~ao suficiente para 
                       estar ventando e sem sol.
              \item[(d)] Estar chovendo \'e uma condi\c c\~ao necess\'aria para
                       estar ventando e sem sol.
              \item[(e)] N\~ao est\'a chovendo, se est\'a ensolarado ou n\~ao est\'a
                       ventando.
              \item[(f)] Estar ventando \'e uma condi\c c\~ao necess\'aria para
                        estar chovendo, assim como a falta de sol.
              \item[(g)] Ou est\'a ventando somente se est\'a chovendo, ou
                         n\~ao est\'a ensolarado somente se est\'a chovendo. 
             \end{list}
   \item[4.] \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Mostre que $P\leftrightarrow Q$ \'e equivalente a
                        $(P\wedge Q)\vee(\neg P\wedge\neg Q)$.
              \item Mostre que $(P\rightarrow R)\wedge(Q\rightarrow R)$ \'e
                    equivalente a $(P\vee Q)\rightarrow R$.
             \end{list}
   \item[6.] Quais das seguintes f\'ormulas s\~ao equivalentes?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $P\rightarrow(Q\rightarrow R)$.
              \item $Q\rightarrow(P\rightarrow R)$.
              \item $(P\rightarrow Q)\wedge(P\rightarrow R)$.
              \item $(P\wedge Q)\rightarrow R$.
              \item $P\rightarrow(Q\wedge R)$.
             \end{list}
  \end{enumerate}


 \item[Se\c c\~ao 2.1] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Qualquer um que tenha perdoado pelo menos uma pessoa \'e um santo.
              \item Ningu\'em da turma de C\'alculo \'e mais esperto que todos da turma de
                    Matem\'atica Discreta.
              \item Todo aquele que tenha comprado um Rolls Royce a dinheiro tem um tio rico.
              \item Se algu\'em no dormit\'orio tiver sarampo,  ent\~ao todo aquele que tiver um amigo no
                    dormit\'orio ter\'a de ficar em quarentena.
              \item Todo mundo gosta de Mary, exceto ela mesma.
              \item Jane viu um urso, e Roger viu um tamb\'em.
              \item Jane viu um urso, e Roger o viu tamb\'em.
              \item Se algu\'em pode faz\^e-lo, Jones pode.
              \item Se Jones pode faz\^e-lo, qualquer um pode.
             \end{list}
   \item[2.] Analise as formas l\'ogicas das afirmativas abaixo.O universo de discurso \'e {\bf R}.
             Quais s\~ao as vari\'aveis livres em cada afirmativa?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Todo n\'umero maior que $x$ \'e maior que $y$.
              \item Para todo n\'umero $a$, a equa\c c\~ao $ax^2+4x-2=0$ tem pelo menos uma solu\c c\~ao
                    se, e somente se, $a\geq -2$.
              \item Todas as solu\c c\~oes da inequa\c c\~ao $x^3-3x<3$ s\~ao menores que 10.
              \item Se existe um n\'umero $x$ tal que $x^2+5x=w$ e existe um n\'umero $y$ tal que
                    $4-y^2=w$, ent\~ao $w$ est\'a entre -10 e 10.
             \end{list}
   \item[3.] Traduza as afirmativas a seguir para portugu\^es coloquial.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\forall x[(H(x)\wedge \forall y\neg M(x,y))\rightarrow U(x)]$, onde $H(x)$
                    significa {\em $x$ \'e um homem\/}, $M(x,y)$ significa {\em $x$ \'e casado com $y$\/},
                    e $U(x)$ significa {\em $x$ \'e infeliz\/}. 
              \item $\exists z(P(z,x)\wedge S(z,y)\wedge W(y))$, onde $P(z,x)$
                    significa {\em $z$ \'e um dos pais de $x$\/}, $S(z,y)$ significa {\em $z$ e $y$
                    s\~ao irm\~aos\/}, e $W(y)$ significa {\em $y$ \'e uma mulher\/}. 
             \end{list}
   \item[4.] Dentre as afirmativas abaixo, quais s\~ao verdadeiras e quais s\~ao falsas? O universo de
             discurso \'e {\bf N}.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\forall x\exists y (2x-y=0)$.
              \item $\exists y\forall x (2x-y=0)$.
              \item $\forall x\exists y (x-2y=0)$.
              \item $\forall x(x<10\rightarrow \forall y(y<x\rightarrow y<9))$.
              \item $\exists y\exists z (y+z=100)$.
              \item $\forall x\exists y(y>x\wedge \exists z(y+z=100))$.
             \end{list}
\end{enumerate}

 \item[Se\c c\~ao 2.2] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Negue estas afirmativas e reexpresse o resultado como afirmativas positivas equivalentes.
             (Veja Exemplo 2.2.1.)
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Todo aquele que est\'a cursando matem\'atica tem um amigo que necessita de ajuda com
                    seu ``para casa''.
              \item Existe algu\'em na turma de calouros que n\~ao tem um colega de quarto.
              \item Todo mundo tem um colega de quarto que detesta todo mundo.
              \item $\forall a\in A\exists b\in B(a\in C\leftrightarrow b\in C)$.
              \item $A\cup B\subseteq C\backslash D$.
              \item $\forall y>0\exists x(ax^2+bx+c=y)$.
             \end{list}
   \item[2.] Estas afirmativas s\~ao verdadeiras ou falsas? O universo de discurso \'e {\bf N}:
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\forall x(x<7 \rightarrow \exists a\exists b\exists c(a^2+b^2+c^2=x))$.
              \item $\exists ! x((x-4)^2=9)$.
              \item $\exists ! x((x-4)^2=25)$.
              \item $\exists x\exists y((x-4)^2=25 \wedge (y-4)^2=25)$.
             \end{list}
   \item[5.] Mostre que o quantificador existencial distribui sobre disjun\c c\~ao. Em outras palavras,
             mostre que $\exists x(P(x)\vee Q(x))$ \'e equivalente a $\exists xP(x)\vee \exists xQ(x)$.
             (Dica: Use o fato de que o quantificador universal distribui sobre conjun\c c\~ao.)
   \item[7.] Mostre que $(\forall x\in A P(x))\wedge(\forall x\in B P(x))$ \'e equivalente a
             $\forall x\in (A\cup B) P(x)$. (Dica: Comece exibindo os significados dos quantificadores
             ligados em termos de quantificadores n\~ao ligados.)
   \item[9.] Suponha que $T(x,y)$ signifique ``$x$ \'e um professor de $y$''. O que significa cada uma das
             afirmativas abaixo? Em que circunst\^ancias cada uma \'e verdadeira? Quais s\~ao equivalentes
             a quais?
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\exists! y T(x,y)$.
              \item $\exists x\exists! y T(x,y)$.
              \item $\exists! x\exists y T(x,y)$.
              \item $\exists y\exists! x T(x,y)$.
              \item $\exists! x\exists! y T(x,y)$.
              \item $\exists x\exists y[T(x,y)\wedge\neg\exists u\exists v(T(u,v)\wedge(u\not=x\vee v\not=y))]$.
             \end{list}
  \end{enumerate}

 \item[Se\c c\~ao 2.3] \ 
 
  \begin{enumerate}
   \item[1.] Analise as formas l\'ogicas das afirmativas a seguir. Voc\^e pode usar os s\'{\i}mbolos $\in$,
             $\not\in$, $=$, $\not=$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\forall$ e $\exists$
             nas suas respostas, mas n\~ao $\subseteq$, $\not\subseteq$, ${\cal P}$, $\cap$, $\cup$, $\backslash$,
             $\{$, $\}$ ou $\neg$. (Assim, voc\^e deve aplicar as defini\c c\~oes de algumas nota\c c\~oes da
             teoria dos conjuntos, e deve usar equival\^encias para se livrar de ocorr\^encias de $\neg$.)
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item ${\cal F}\subseteq {\cal P}(A)$.
              \item $x\in \cup{\cal F}\backslash \cup{\cal G}$.
              \item $A\subseteq \{2n+1\,\,|\,\, n\in \mbox{\bf N}\}$.
              \item $\{n^2+n+1\,\,|\,\, n\in \mbox{\bf N}\}\subseteq \{2n+1\,\,|\,\, n\in \mbox{\bf N}\}$.
              \item $\{x\in B\,\,|\,\, x\not\in C\}\in {\cal P}(A)$.
              \item $x\in \cap_{i\in I}(A_i\cup B_i)$.
              \item $x\in (\cap_{i\in I}A_i)\cup(\cap_{i\in I}B_i)$.
              \item ${\cal P}(\cup_{i\in I}A_i)\not\subseteq \cup_{i\in I}{\cal P}(A_i)$.
             \end{list}
   \item[2.] N\'os vimos que ${\cal P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$, e $\{\emptyset\}\not=\emptyset$. O que \'e
             ${\cal P}(\{\emptyset\})$?
   \item[3.] Suponha que ${\cal F}=\{\{\mbox{vermelho},\mbox{verde},\mbox{azul}\},
             \{\mbox{alaranjado},\mbox{vermelho},\mbox{azul}\},$ \newline
             $\{\mbox{roxo},\mbox{vermelho},\mbox{verde},\mbox{azul}\}\}$. Encontre $\cap {\cal F}$ e
             $\cup {\cal F}$.
   \item[4.] Seja $I=\{2,3,4,5\}$, e para cada $i\in I$ seja $A_i=\{i,i+1,i-1,2i\}$.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Liste os elementos de todos os conjuntos $A_i$, para $i\in I$.
              \item Encontre $\cap_{i\in I}A_i$ e $\cup_{i\in I}A_i$.
             \end{list}
   \item[5.] Seja $I=\{2,3\}$, e para cada $i\in I$ seja $A_i=\{i,2i\}$ e $B_i=\{i,i+1\}$.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item Liste os elementos dos conjuntos $A_i$ e $B_i$, para $i\in I$.
              \item Encontre $\cap_{i\in I}(A_i\cup B_i)$ e $(\cap_{i\in I}A_i)\cup(\cap_{i\in I}B_i$.
                    S\~ao eles o mesmo conjunto?
              \item Nas partes (f) e (g) do exerc\'{\i}cio 1 voce\^e analisou as afirmativas
                    $x\in \cap_{i\in I}(A_i\cup B_i)$ e $x\in (\cap_{i\in I}A_i)\cup(\cap_{i\in I}B_i)$.
                    O que voc\^e pode concluir da sua resposta da parte (b), com rela\c c\~ao \`a
                    equival\^encia ou n\~ao destas afirmativas?
             \end{list}
   \item[6.] Mostre que para quaisquer conjuntos $A$ e $B$
             ${\cal P}(A\cap B)={\cal P}(A)\cap{\cal P}(B)$, mostrando que as afirmativas $x\in {\cal P}(A\cap B)$
             e $x\in {\cal P}(A)\cap{\cal P}(B)$ s\~ao equivalentes. (Veja Exemplo 2.3.3.)
   \item[7.] D\^e exemplos de conjuntos $A$ e $B$ para os quais ${\cal P}(A\cup B)\not={\cal P}(A)\cup{\cal P}(B)$.
   \item[8.] Verifique as seguintes identidades explicitando (usando s\'{\i}mbolos l\'ogicos) o que
             significa para um objeto $x$ ser um elemento de cada conjunto e, em seguida, usando equival\^encias
             l\'ogicas.
             \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
              \item $\cup_{i\in I}(A_i\cup B_i)=(\cup_{i\in I}A_i)\cup(\cup_{i\in I}B_i)$.
              \item $(\cap {\cal F})\cap(\cap {\cal G})=\cap ({\cal F}\cup{\cal G})$.
              \item $\cap_{i\in I}(A_i\backslash B_i)=(\cap_{i\in I}A_i)\backslash(\cup_{i\in I}B_i)$.
             \end{list}
  \end{enumerate}

\end{description}

\end{document}