\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{report}
 
\newcounter{conta}

\begin{document}

\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Primeira Prova} \hfill 11/04/2001

\begin{description}
 \item[Dura\c c\~ao:] 1 hora e 30 minutos.
 \item[Valores das quest\~oes:] 5 pontos cada uma.
\end{description}

\begin{enumerate}
 \item Explicite as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas. Em nenhuma delas deve ser
       usada quantifica\c c\~ao.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Eu n\~ao vou \`a praia, ou eu vou mas n\~ao haver\'a sol.
        \item Se este g\'as tem um cheiro desagrad\'avel ou n\~ao \'e explosivo, ent\~ao n\~ao
              \'e hidrog\^enio.
        \item Est\'a ventando e n\~ao est\'a ensolarado somente se est\'a chovendo.
        \item Estar chovendo \'e uma condi\c c\~ao necess\'aria para estar ventando e n\~ao
              ensolarado.
       \end{list}

 \item Expresse em L\'ogica de Predicados (com quantificadores):
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Todo ser humano \'e mortal.
        \item Todo n\'umero maior que $x$ \'e maior que $y$.
        \item H\'a homens que n\~ao t\^em amigos.
        \item Todo aluno tem um colega do qual ele n\~ao gosta.
       \end{list}

 \item Sejam os conjuntos $X=A\backslash(B\cup C)$ e $Y=(A\backslash B)\cup(A\backslash C)$.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Mostre, usando diagramas de Venn, que $X\subseteq Y$.
        \item D\^e um exemplo de conjuntos $A$, $B$ e $C$ para os quais $X\not=Y$.
        \item Mostre que $X\subseteq Y$ mostrando que $x\in Y$ \'e consequ\^encia l\'ogica de
              $x\in X$.
       \end{list}

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% \bf Continua no verso.
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 \item Simplifique as afirmativas abaixo. Para as que n\~ao t\^em vari\'aveis livres, diga se
       s\~ao verdadeiras ou falsas.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $2\in\{x\,\,|\,\, x \mbox{ \'e par}\}$.
        \item $2\in\{x\in\mbox{\bf R}\,\,|\,\, x^2-2x>2\}$.
        \item $y^2\not\in\{x^2\,\,|\,\, x>10\}$.
        \item $2\in\{\{x\,\,|\,\, x \mbox{ \'e par}\}\,\,|\,\, x^2-2x>2\}$.
       \end{list}

 \item Explicite as formas l\'ogicas das afirmativas abaixo. Podem ser usados os s\'{\i}mbolos
       $\in$, $\not\in$, $=$, $\not=$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\forall$
       e $\exists$, mas n\~ao $\subseteq$, $\not\subseteq$, ${\cal P}$, $\cap$, $\cup$, $\backslash$,
       $\{$, $\}$ ou $\neg$.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item ${\cal F}\subseteq {\cal P}(A)$.
        \item $x\in\cap({\cal F}\cup {\cal G})$.
        \item $A\subseteq \{2n+1\,\,|\,\, n\in\mbox{\bf N}\}$.
        \item $x\in\cap_{i\in I}(A_i\backslash B_i)$.
       \end{list}
\end{enumerate}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\bf\large Algumas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item $\exists x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\exists x(x\in A \wedge P(x))$.
 \item $\forall x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\forall x(x\in A \rightarrow P(x))$.
 \item ${\cal P}(A)$ \'e o conjunto pot\^encia de $A$, ou seja, $\{X\,\,|\,\, X\subseteq A\}$.
 \item $\cup{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \exists A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cap{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \forall A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cup_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \exists i\in I(x\in X_i)\}$.
 \item $\cap_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \forall i\in I(x\in X_i)\}$.
\end{itemize}
\end{document}
