\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{report}
 
\newcounter{conta}

\begin{document}

\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Primeira Prova} \hfill 11/04/2001

\begin{description}
 \item[Dura\c c\~ao:] 1 hora e 30 minutos.
 \item[Valores das quest\~oes:] 5 pontos cada uma.
\end{description}

\begin{enumerate}
 \item Explicite as formas l\'ogicas das seguintes afirmativas. Em nenhuma delas deve ser
       usada quantifica\c c\~ao.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Eu serei engenheiro ou arquiteto, mas n\~ao gosto de matem\'atica.
        \item Se eu fa\c co o dever de casa, o professor n\~ao o recolhe, e se eu n\~ao
              fa\c co, o professor pede para eu resolv\^e-lo no quadro.
        \item Estar ventando \'e condi\c c\~ao necess\'aria para chover, assim como estar
              sem sol.
        \item Estar chovendo ou fazendo muito frio \'e condi\c c\~ao suficiente, mas n\~ao
              necess\'aria, para eu n\~ao ir ao cinema.
       \end{list}

 \item Expresse em L\'ogica de Predicados (com quantificadores):
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Existem seres humanos bons e maus.
        \item Todos gostam de Godofredo, exceto ele e Jo\~ao.
        \item Ningu\'em gosta de quem n\~ao gosta da pr\'opria m\~ae.
        \item Toda pessoa gosta de pelo menos duas pessoas.
       \end{list}

 \item Use diagramas de Venn para mostrar que  a lei associativa vale para diferen\c ca
       sim\'etrica; isto \'e, para quaisquer conjuntos $A$, $B$ e $C$, $A\Delta (B\Delta C)=
       (A\Delta B)\Delta C$. ($A\Delta B$ \'e, por defini\c c\~ao, $(A\backslash B)\cup(B\backslash A)$.)

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% \bf Continua no verso.
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\item Mostre que $\exists x(P(x)\rightarrow Q(x))$ \'e equivalente a $\forall x P(x)\rightarrow \exists x Q(x)$.

 \item Explicite as formas l\'ogicas das afirmativas abaixo. Podem ser usados os s\'{\i}mbolos
       $\in$, $\not\in$, $=$, $\not=$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$, $\forall$
       e $\exists$, mas n\~ao $\subseteq$, $\not\subseteq$, ${\cal P}$, $\cap$, $\cup$, $\backslash$,
       $\{$, $\}$ ou $\neg$.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $A\cup B\subseteq C\backslash D$.
        \item $x\in \cap(\mathcal{F})\backslash\cap(\mathcal{G})$.
        \item $\{x\in B\,\,|\,\, x\not\in C\}\in \mathcal{P}(A)$.
        \item $x\in(\cap_{i\in I} A_i)\cup(\cap_{i\in I} B_i)$.
       \end{list}
\end{enumerate}

\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\bf\large Algumas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item $\exists x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\exists x(x\in A \wedge P(x))$.
 \item $\forall x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\forall x(x\in A \rightarrow P(x))$.
 \item ${\cal P}(A)$ \'e o conjunto pot\^encia de $A$, ou seja, $\{X\,\,|\,\, X\subseteq A\}$.
 \item $\cup{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \exists A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cap{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \forall A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cup_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \exists i\in I(x\in X_i)\}$.
 \item $\cap_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \forall i\in I(x\in X_i)\}$.
\end{itemize}
\end{document}
