\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{report}

\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Segunda Prova} \hfill 07/05/2001

\begin{description}
 \item[Dura\c c\~ao:] 1 hora e 30 minutos.
 \item[Valores das quest\~oes:] 5 pontos cada uma.
\end{description}

\begin{enumerate}
 \item Suponha que $x$ \'e um n\'umero real e que $x\not=0$. Prove que
       \[\mbox{se } \frac{\sqrt[3]{x}+5}{x^2+6}=\frac{1}{x} \mbox{ ent\~ao } x\not=8\mbox{.}\]

 \item Prove que $A\backslash (B\cup C)\subseteq (A\backslash B)\cup(A\backslash C)$.

 \item Suponha que $B$ \'e um conjunto e que ${\cal F}$ \'e uma fam\'{\i}lia de conjuntos. Prove que se
       $\cup{\cal F}\subseteq B$ ent\~ao ${\cal F}\subseteq {\cal P}(B)$

 \item Prove que se $A\subseteq B$ e $A\not\subseteq C$, ent\~ao
       $B\not\subseteq C$.
       
 \item Prove que para qualquer n\'umero real $x$ existe um \'unico n\'umero real $y$ tal que $x^2y=x-y$.

\end{enumerate}
 
\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\bf Algumas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item $\exists x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\exists x(x\in A \wedge P(x))$.
 \item $\forall x\in A P(x)$ \'e o mesmo que $\forall x(x\in A \rightarrow P(x))$.
 \item ${\cal P}(A)$ \'e o conjunto pot\^encia de $A$, ou seja, $\{X\,\,|\,\, X\subseteq A\}$.
 \item $\cup{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \exists A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cap{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \forall A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cup_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \exists i\in I(x\in X_i)\}$.
 \item $\cap_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \forall i\in I(x\in X_i)\}$.
\end{itemize}
\end{document}

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