\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{report}

\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent Bacharelado em Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Segunda Prova/Solu\c c\~ao do professor}

\vspace*{3mm}
Ser\~ao apresentadas apenas a estrutura l\'ogica da provas, a partir das quais as provas podem ser
facilmente obtidas.

\begin{enumerate}\footnotesize
 \item {\em Suponha que $x$ \'e um n\'umero real e que $x\not=0$. Prove que
       \[\mbox{se } \frac{\sqrt[3]{x}+5}{x^2+6}=\frac{1}{x} \mbox{ ent\~ao } x\not=8\mbox{.}\]}

       \underline{\em Solu\c c\~ao\/}:

       \begin{tabbing}
        xxx\=xxx\=xxx\= \kill
        Pela contrapositiva. Seja $x=8$. \\
           \> Ent\~ao $(\sqrt[3]{x}+5)/(x^2+6)=(\sqrt[3]{8}+5)/(8^2+6)=(2+5)/70=1/10$. E como \\
           \> $1/x=1/8$, tem-se que $(\sqrt[3]{x}+5)/(x^2+6)\not=1/x$. \\
        Portanto, se $(\sqrt[3]{x}+5)/(x^2+6)=1/x$ ent\~ao $x\not=8$.
       \end{tabbing}

 \item {\em Prove que $A\backslash (B\cup C)\subseteq (A\backslash B)\cup(A\backslash C)$.}

       \underline{\em Solu\c c\~ao\/}:

       \begin{tabbing}
        xxx\=xxx\=xxx\= \kill
        Seja um elemento $x$ arbitr\a'ario. \\
           \> Suponha que $x\in A\backslash (B\cup C)$. \\
           \>  \> Segue-se, ent\~ao, que $x\in A$ e $x\not\in B\cup C$. Desta \a'ultima, segue-se
                      que $x\not\in B$ e \\
           \>  \> $x\not\in C$. Como $x\in A$ e $x\not\in B$, $x\in A\backslash B$; e como $x\in A$ e
                      $x\not\in C$, $x\in A\backslash C$. \\
           \>  \> Pode-se concluir, ent\~ao, que $x\in A\backslash B$ e $x\in A\backslash C$. Assim,
                      $x\in (A\backslash B)\cap(A\backslash C)$ \\
           \>  \> e, tamb\a'em, $x\in (A\backslash B)\cup(A\backslash C)$. \\
           \> Portanto, se $x\in A\backslash (B\cup C)$, ent\~ao
                                           $x\in (A\backslash B)\cup(A\backslash C)$. \\
        Como $x$ \a'e arbitr\a'ario, conclui-se que
                             $A\backslash (B\cup C)\subseteq (A\backslash B)\cup(A\backslash C)$.
       \end{tabbing}

 \item {\em Suponha que $B$ \'e um conjunto e que ${\cal F}$ \'e uma fam\'{\i}lia de conjuntos. Prove que se
       $\cup{\cal F}\subseteq B$ ent\~ao ${\cal F}\subseteq {\cal P}(B)$.}

       \underline{\em Solu\c c\~ao\/}:

       \begin{tabbing}
        xxx\=xxx\=xxx\= \kill
        Suponha que $\cup{\cal F}\subseteq B$. \\
           \> Seja um conjunto $X$ arbitr\a'ario. \\
           \>  \> Suponha que $X\in{\cal F}$. \\
           \>  \>  \> De $\cup{\cal F}\subseteq B$ e $X\in{\cal F}$, deduz-se que $X\subseteq B$. \\
           \>  \> Logo, se $X\in{\cal F}$, ent\~ao $X\in {\cal P}(B)$. \\
           \> Como $X$ \a'e arbitr\a'ario, segue-se que ${\cal F}\subseteq {\cal P}(B)$. \\
        Portanto, se $\cup{\cal F}\subseteq B$ ent\~ao ${\cal F}\subseteq {\cal P}(B)$.
       \end{tabbing}

 \item {\em Prove que se $A\subseteq B$ e $A\not\subseteq C$, ent\~ao
       $B\not\subseteq C$.}
       
       \underline{\em Solu\c c\~ao\/}:

       \begin{tabbing}
        xxx\=xxx\=xxx\= \kill
        Suponha que $A\subseteq B$ e $A\not\subseteq C$. \\
           \> Suponha que $B\subseteq C$. \\
           \>  \> De $A\subseteq B$ e $B\subseteq C$ deduz-se que $A\subseteq C$, que contradiz
                       $A\not\subseteq C$. \\
           \> Logo, $B\not\subseteq C$. \\
        Portanto, se $A\subseteq B$ e $A\not\subseteq C$, ent\~ao $B\not\subseteq C$.
       \end{tabbing}

 \item {\em Prove que para qualquer n\'umero real $x$ existe um \'unico n\'umero real $y$ tal que $x^2y=x-y$.}

       \underline{\em Solu\c c\~ao\/}:

       \begin{tabbing}
        xxx\=xxx\=xxx\=xxx\= \kill
        Seja um n\a'umero real $x$ arbitr\a'ario. \\
           \> {\em Exist\^encia\/}: \\
           \>  \> Seja $y=x/(x^2+1)$. Ent\~ao: $x^2y=x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)=x-y$.\\
           \>  \> Logo, $\exists y (x^2y=x-y)$. \\
           \> {\em Unicidade\/}: \\
           \>  \> Seja ainda $y=x/(x^2+1)$ e um n\a'umero real $z$ arbitr\a'ario. \\
           \>  \>  \> Suponha que $x^2z=x-z$. \\
           \>  \>  \>  \> De $x^2z=x-z$, segue-se que $z=x/(x^2+1)$ e, portanto, $z=y$. \\
           \>  \>  \> Portanto, se $x^2z=x-z$ ent\~ao $z=y$. \\
           \>  \> Como $z$ \a'e arbitr\a'ario, segue-se a unicidade. \\
           \> Portanto, existe um \a'unico n\a'umero real $y$ tal que $x^2y=x-y$. \\
        Como $x$ \a'e um  n\a'umero real arbitr\a'ario, segue-se que para qualquer n\a'umero real $x$ \\
        existe um \a'unico n\a'umero real $y$ tal que $x^2y=x-y$.
       \end{tabbing}

\end{enumerate}
 
\end{document}