\documentclass[12pt,a4paper]{report}
 
\newcounter{conta}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\noindent {Bacharelado em Ci\^encia da Computa\c c\~ao} \hfill DCC/ICEx/UFMG \\
{\em Matem\'atica Discreta} \hfill $1^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2001 \\
Professor: Newton Jos\'e Vieira \\
{\bf Terceira Prova} \hfill 13/06/2001

\vspace*{.5cm}
\noindent {\bf Valores das quest\~oes\/}: 5 pontos cada uma.

\vspace*{.2cm}
\begin{enumerate}
 \item O que h\'a de errado com a seguinte prova de que para quaisquer conjuntos $A$, $B$, $C$ e $D$,
       $(A\cup C)\times(B\cup D)\subseteq(A\times B)\cup (C\times D)$?
       \begin{quote}
        {\em Prova\/}. Suponha que $(x,y)\in(A\cup C)\times(B\cup D)$. Ent\~ao $x\in A\cup C$ e
        $y\in B\cup D$ e, assim, $x\in A$ ou $x\in C$ e tamb\'em $y\in B$ ou $y\in D$.
        Considerando estes casos separadamente:

        {\em Caso 1}. $x\in A$ e $y\in B$. Ent\~ao $(x,y)\in A\times B$.

        {\em Caso 2}. $x\in C$ e $y\in D$. Ent\~ao $(x,y)\in C\times D$.
       \end{quote}
       Assim, $(x,y)\in A\times B$ ou $(x,y)\in C\times D$. Portanto, $(x,y)\in(A\times B)\cup
       (C\times D)$.

 \item Seja $R$ uma rela\c c\~ao de $A$ para $B$, e $S$ e $T$ rela\c c\~oes de $B$ para $C$. Mostre que as
       seguintes afirmativas s\~ao verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas com provas ou
       contraexemplos.
       \begin{enumerate}
        \item se $S\subseteq T$ ent\~ao $S\circ R\subseteq T\circ R$.
        \item se $S\circ R\subseteq T\circ R$ ent\~ao $S\subseteq T$.
       \end{enumerate}
 
 \item Seja $P$ o conjunto de todas as pessoas do mundo. Sejam as fun\c c\~oes:
       \begin{itemize}
        \item $f:P\rightarrow\mathcal{P}(P)$, tal que $f(p)=\mbox{ pessoas da fam\'{\i}lia de } p$;
        \item $t:\mathcal{P}(P)\rightarrow \mbox{\bf N},$ tal que $t(A)=|A|$;
        \item $g:\mbox{\bf N}\rightarrow \{\mbox{\em pequena},\mbox{\em m\'edia},\mbox{\em grande}\}$,
              onde
              \begin{itemize}
               \item $g(0)=g(1)=g(2)=g(3)=\mbox{\em pequena}$;
               \item $g(4)=g(5)=\mbox{\em m\'edia}$;
               \item $g(n)=\mbox{\em grande}$ para $n\geq 6$.
              \end{itemize}
       \end{itemize}
       Escreva, em portugu\^es coloquial, o que significa cada uma das afirmativas:
       \begin{enumerate}
        \item $\forall p\in P (p\in f(p))$
        \item $g\circ t\circ f(\mbox{\em Am\'elia})=\mbox{\em grande}$
       \end{enumerate}

\hfill {\bf Continua no verso.}
\pagebreak

 \item Seja $A=\mbox{\bf R}\backslash\{1\}$ e seja $f:A\rightarrow \mbox{\bf R}$ definida como segue:
       \[f(x)=\frac{x+1}{x-1}\mbox{.}\]
       \begin{enumerate}
        \item Mostre que $f$ \'e injetiva.
        \item Mostre que $f$ \'e n\~ao \'e bijetiva.
       \end{enumerate}

 \item Prove, por indu\c c\~ao, que $\sum_{i=1}^n(i\times i!)=(n+1)!-1$ para todo $n\geq 1$.

       
\end{enumerate}


\end{document}

