\documentclass[12pt, a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}

\newcounter{conta}
\newcounter{conta2}
\begin{document}

\noindent Bacharelado em Matem\'atica Computacional
\hfill UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2004 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira  \\
{\bf Segunda Prova/Especial}

\vspace*{2mm}
\noindent {\bf Cada quest\~ao vale 4 pontos.}

\begin{enumerate}
 \item Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos quaisquer. Prove que
       \[\mbox{se } A\subseteq B \mbox{ ent\~ao } A\cap C\subseteq B\cap C\mbox{.}\]

 \item Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ conjuntos tais que $D$ n\~ao \'e vazio, $B$ e
       $C$ s\~ao disjuntos, e $D\subseteq C\backslash A$. Prove que
       $D\not\subseteq A\cup B$.

 \item Suponha que $\{A_i\,\,|\,\,i\in I\}$ \'e uma fam\'{\i}lia indexada de conjuntos.
       Prove que $\cup_{i\in I}{\cal P}(A_i)\subseteq {\cal P}(\cup_{i\in I}A_i)$.

 \item Prove que para todo n\'umero natural $n$, $n^3$ \'e par se, e somente se,
       $n$ \'e par.
       
 \item Seja $P(x)$ uma afirmativa com uma vari\'avel livre $x$. A seguinte f\'ormula
       expressa o fato ``{\em existem exatamente dois valores de $x$ para os quais
       $P(x)$ \'e verdadeira}'':
       \[\exists x\exists y[P(x)\wedge P(y)\wedge x\not= y\wedge\forall z(P(z)\rightarrow
         (z=x\vee z=y))]\mbox{.}\]
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Explique como seria uma estrat\'egia, baseada nesta f\'ormula, para
              provar uma afirmativa da forma ``{\em existem exatamente dois
              valores de $x$ para os quais $P(x)$ \'e verdadeira}''.
        \item Prove que existem exatamente duas solu\c c\~oes para a equa\c c\~ao
              $x^3=x^2$.
       \end{list}
\end{enumerate}
 
\vspace*{3mm}
\begin{flushleft}
\bf Algumas defini\c c\~oes:
\end{flushleft}

\begin{itemize}
 \item ${\cal P}(A)$ \'e o conjunto pot\^encia de $A$, ou seja, $\{X\,\,|\,\, X\subseteq A\}$.
% \item $\cup{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \exists A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
% \item $\cap{\cal F}=\{x\,\,|\,\, \forall A\in{\cal F}(x\in A)\}$.
 \item $\cup_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \exists i\in I(x\in X_i)\}$.
 \item $\cap_{i\in I}X_i=\{x\,\,|\,\, \forall i\in I(x\in X_i)\}$.
\end{itemize}
\end{document}

\end{document}