\documentclass[12pt, a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}

\newcounter{conta}
\begin{document}

\noindent Bacharelado em Matem\'atica Computacional
\hfill UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2002 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira  \\
{\bf Quarta Prova/Solu\c c\~ao do professor} \hfill 25/09/2002

\begin{enumerate}\footnotesize
 \item {\em O corpo de diretores de uma empresa farmac\^eutica tem 10 membros. Uma reuni\~ao
       de acionistas foi marcada para escolher, dentre os 10, um presidente, um
       vice-presidente, um secret\'ario e um tesoureiro. Sabe-se que 3 membros do corpo
       de diretores s\~ao m\'edicos. Quantas possibilidades existem para compor os
       4 cargos, se:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item N\~ao h\'a restri\c c\~oes?

              Solu\c c\~ao: $P(10,4)=10\times 9\times 8\times 7=5040$.

        \item Um m\'edico deve ser escolhido para a presid\^encia?

              Solu\c c\~ao: $3\times P(9,3)=3\times 9\times 8\times 7=1512$.

        \item Um m\'edico deve ser escolhido para um dos 4 cargos e nenhum outro m\'edico
              pode ser escolhido para os outros 3 cargos?

              Solu\c c\~ao: $3\times 4\times P(7,3)=3\times 4\times 7\times 6\times 5=2520$.

        \item Pelo menos um m\'edico deve ser escolhido?

              Solu\c c\~ao: $P(10,4)-P(7,4)=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4
                             =5040-840=4200$.

       \end{list}}


 \item Considere as letras da palavra MATEMATICA.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Quantos arranjos existem destas 10 letras?

              Solu\c c\~ao: $C(10;3,2,2,1,1,1)=10!/(3!\times 2!\times 2!)=151200$.

        \item Em quantos arranjos as letras E e I ocorrem adjacentes?

              Solu\c c\~ao: $2C(9;3,2,2,1,1)=2\times 9!/(3!\times 2!\times 2!)=$.

        \item Em quantos arranjos todas as vogais ocorrem adjacentes?
        \item Em quantos arranjos as letras A n\~ao ocorrem adjacentes?
       \end{list}

% \item Considere 8 pessoas, denotadas por A, B, \ldots, H, sentadas em torno de uma
%       mesa quadrada, de forma que que duas pessoas s\~ao consideradas adjacentes
%       se, e somente se est\~ao no mesmo lado da mesa. Assim, na figura (1) abaixo,
%       A e B est\~ao adjacentes, enquanto que $B$ e $C$ n\~ao est\~ao. Observe
%       tamb\'em que as figuras (1) e (2) representam a mesma configura\c c\~ao, a
%       qual \'e diferente daquela representada pela figura (3). Nesta \'ultima,
%       $A$ e $B$, por exemplo, n\~ao est\~ao adjacentes, enquanto que nas figuras (1)
%       e (2) A e B est\~ao adjacentes.
%       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
%        \item De quantas maneiras as 8 pessoas podem ser dispostas em torno da mesa?
%        \item Supondo que A e B n\~ao se d\~ao bem, quantas maneiras
%              existem de dispor as 8 pessoas de forma que A e B n\~ao fiquem
%              adjacentes?
%        \item Em quantas configura\c c\~oes da parte (b) A e B n\~ao ficam frente a
%              frente?
%       \end{list}
%       \begin{center}
%       \begin{picture}(100,100)
%        \put(10,10){\framebox(50,50){(1)}}
%        \put(5,25){\makebox(0,0)[r]{\sf G}}
%        \put(5,45){\makebox(0,0)[r]{\sf H}}
%        \put(25,65){\makebox(0,0)[b]{\sf A}}
%        \put(45,65){\makebox(0,0)[b]{\sf B}}
%        \put(65,45){\makebox(0,0)[l]{\sf C}}
%        \put(65,25){\makebox(0,0)[l]{\sf D}}
%        \put(25,5){\makebox(0,0)[t]{\sf F}}
%        \put(45,5){\makebox(0,0)[t]{\sf E}}
%       \end{picture}
%       \begin{picture}(100,100)
%        \put(10,10){\framebox(50,50){(2)}}
%        \put(5,25){\makebox(0,0)[r]{\sf E}}
%        \put(5,45){\makebox(0,0)[r]{\sf F}}
%        \put(25,65){\makebox(0,0)[b]{\sf G}}
%        \put(45,65){\makebox(0,0)[b]{\sf H}}
%        \put(65,45){\makebox(0,0)[l]{\sf A}}
%        \put(65,25){\makebox(0,0)[l]{\sf B}}
%        \put(25,5){\makebox(0,0)[t]{\sf D}}
%        \put(45,5){\makebox(0,0)[t]{\sf C}}
%       \end{picture}
%       \begin{picture}(100,100)
%        \put(10,10){\framebox(50,50){(3)}}
%        \put(5,25){\makebox(0,0)[r]{\sf D}}
%        \put(5,45){\makebox(0,0)[r]{\sf E}}
%        \put(25,65){\makebox(0,0)[b]{\sf F}}
%        \put(45,65){\makebox(0,0)[b]{\sf G}}
%        \put(65,45){\makebox(0,0)[l]{\sf H}}
%        \put(65,25){\makebox(0,0)[l]{\sf A}}
%        \put(25,5){\makebox(0,0)[t]{\sf C}}
%        \put(45,5){\makebox(0,0)[t]{\sf B}}
%       \end{picture}
%       \end{center}

 \item Um comit\^e de 12 pessoas deve ser selecionado a partir de um grupo
       de 10 mulheres e 10 homens.
       De quantas maneiras a sele\c c\~ao pode ser feita se:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item N\~ao h\'a restri\c c\~oes?
        \item Deve haver 6 homens e 6 mulheres?
        \item Deve haver um n\'umero par de mulheres?
        \item Deve haver mais mulheres do que homens?
        \item Deve haver pelo menos 8 homens?
       \end{list}

 \item Considere as sequ\^encias de tamanho 10 formadas com os d\'{\i}gitos 0, 1 e 2,
       e seus pesos. O peso de uma sequ\^encia $d_1d_2\ldots d_{10}$ \'e a soma de
       seus d\'{\i}gitos, isto \'e, $\sum_{k=1}^{10}d_k$. Por exemplo, o peso de
       $0102011202$ \'e $0+1+0+2+0+1+1+2+0+2=9$.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Quantas sequ\^encias t\^em peso 3?
        \item Quantas sequ\^encias t\^em peso 4?
        \item Quantas sequ\^encias t\^em peso par?
       \end{list}

 \item De quantas maneiras se pode distribuir 8 bolas id\^enticas em 4 caixas
       distintas, de forma que:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Nenhuma caixa fique vazia?
        \item A quarta caixa fique com um n\'umero \'{\i}mpar de bolas?
       \end{list}


\end{enumerate}

\end{document}