\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\newcounter{conta}
\begin{document}
 
\noindent Departamento de Ci\^{e}ncia da Computa\c{c}\~{a}o \hfill ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{2}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2002 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
\underline{Quarta Lista de Exerc\'{\i}cios} \hfill Entrega: 05/02/2003.

\noindent{\bf Fun\c{c}\~{o}es Geradoras}
 
\begin{enumerate}
 \item Apresente fun\c{c}\~{o}es geradoras para os seguintes problemas de 
       equa\c{c}\~{o}es
       inteiras:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=r$, com $x_1,x_2,x_3$ \'{\i}mpares e $x_2,x_4$
              pares.
        \item $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=r$, com $x_1+x_2=6$ e $x_k\geq 0$.
        \item $x_1+x_2+x_3<r$, com $k\leq x_k<2k$.
        \item $2x_1+3x_2+5x_3=r$, com $x_k>k$.
       \end{list}

 \item Encontre a fun\c{c}\~{a}o geradora para o n\'{u}mero de maneiras em que o
       lan\c{c}amento de 3 dados distintos pode produzir um soma de, no m\'{a}ximo,
       $r$.

 \item Encontre os coeficientes dos seguintes termos:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $x^{24}$ em $(x^3+x^4+\cdots+x^{12})^4$.
        \item $x^{6}$ em $(x+x^2+\cdots)^2(1-x^{3})^3$.
        \item $x^{5}$ em $(1-x^2)^{12}/(1-x)^3$.
       \end{list}

 \item Encontre fun\c{c}\~{o}es geradoras para os seguintes $a_n$:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $a_n=3n-4$.
        \item $a_n=n(n-1)$.
        \item $a_n=n^4$.
        \item $a_n=n^23^n$.
       \end{list}

 \item Use as fun\c{c}\~{o}es geradoras do exerc\'{\i}cio anterior para avaliar as seguintes
       somas:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $-4+-1+2+\cdots+(3n-4)$.
        \item $2\times 1+3\times 2+\cdots+n(n-1)$.
        \item $1^4+2^4+\cdots+n^4$.
        \item $3+2^23^2\cdots+n^23^n$.
       \end{list}

 \item Utilizando fun\c{c}\~{o}es geradoras, determine o n\'{u}mero de solu\c{c}\~{o}es
       inteiras para as seguintes equa\c{c}\~{o}es:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, com $1\leq x_i\leq 6$.
        \item $x_1+x_2+x_3=6$, com $1\leq x_1\leq 5$, $x_2\geq 2$ e $x_3\geq 3$.
        \item $x_1+x_2+x_3+x_4\leq 10$, com $1\leq x_i\leq 10$.
       \end{list}

 \item De quantas maneiras se pode distribuir $r$ moedas id\^{e}nticas a 20 crian\c{c}as,
       se cada crian\c{c}a recebe no m\'{\i}nimo 1, mas n\~{a}o mais que 4 moedas?

 \item Quantas maneiras existem de distribuir 20 c\'{e}dulas de 1 real a 10 meninas
       e $r$ meninos, se cada menina recebe no m\'{\i}nimo 1 real e cada menino
       recebe no m\'{a}ximo 3 reais?

 \item Use fun\c{c}\~{a}o geradora para encontrar o n\'{u}mero de maneiras de pintar
       20 quartos id\^{e}nticos de um hotel com 5 cores, se existe tintas das
       cores azul, cor-de-rosa e verde suficientes para pintar no m\'{a}ximo
       3 quartos (para cada uma destas cores).

 \item De quantas maneiras se pode distribuir $2n$ bolas id\^{e}nticas em 4 caixas
       distintas, de forma que nenhuma caixa contenha mais que $n$ bolas?

\end{enumerate}

\end{document}