\documentclass[12pt, a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}

\newcounter{conta}
\begin{document}


\noindent Departamento de Ci\^encia da Computa\c c\~ao
\hfill UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{2}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2002 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira  \\
{\bf Segunda Prova} \hfill 20/01/2003

\vspace*{1mm}
\begin{enumerate}
 \item Em uma biblioteca aparecem 5 alunos querendo emprestados 2 livros cada um,
       um de Matem\'atica Discreta e outro de Algoritmos.
       E a biblioteca tem exatamente 5 livros de Matem\'atica Discreta e 5 livros
       de Algoritmos. Considere que nenhum autor escreveu livros de ambos os
       assuntos. Para cada situa\c c\~ao abaixo, determinar de quantas
       maneiras se pode fazer o empr\'estimo.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Matem\'atica Discreta: 5 livros de um mesmo autor; Algoritmos: 5 livros
              de um mesmo autor.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: 1.

        \item Matem\'atica Discreta: 5 livros de um mesmo autor; Algoritmos: 5 livros
              de autores distintos.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $1\times P(5,5)=5!$.

        \item Matem\'atica Discreta: 5 livros de autores distintos; Algoritmos: 5
              livros de autores distintos.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $P(5,5)\times P(5,5)=5!\times 5!$.

        \item Matem\'atica Discreta: 5 livros de autores distintos; Algoritmos: 3
              livros de um mesmo autor e 2 livros de outro autor.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $P(5,5)\times P(5;3,2)=5!\times 5!/(3!2!)$.

        \item Matem\'atica Discreta: 2 livros de um autor, 2 de outro e 1 de um livro
              de um terceiro autor; Algoritmos: 3 livros de um mesmo autor e 2
              livros de outro autor.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $P(5;2,2,1)\times P(5;3,2)=[5!/(2!2!1!)]\times
              [5!/(3!2!)]$.

       \end{list}

 \item Dado um baralho completo com 52 cartas, de quantas formas se pode escolher 6
       cartas:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item Sem restri\c c\~oes?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(52,6)$.

        \item Com alguma carta de ouros?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(52,6)-C(39,6)$.

        \item Com 2 cartas de ouros e 2 de copas?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(13,2)\times C(13,2)\times C(26,2)$.

        \item Com pelo menos 1 carta de cada naipe?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(52,6)-4C(39,6)+6C(26,6)-4C(13,6)$.

        \item Com 3 cartas vermelhas e 3 pretas, sendo 3 ases?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(2,2)\times C(2,1)\times C(24,1)\times C(24,2)+
                 C(2,1)\times C(2,2)\times C(24,2)\times C(24,1)$.

       \end{list}


\pagebreak
 \item De quantas maneiras se pode arranjar as letras AAAABBBCCDEF:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item No total?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(12;4,3,2,1,1,1)=12!/(4!3!2!)$.

        \item Com todos os A's antes de F?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(12,5)\times C(7;3,2,1,1)$.

        \item Sem B's consecutivos?

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(9;4,2,1,1,1)\times C(10,3)$.

       \end{list}

 \item Encontrar o n\'umero de solu\c c\~oes em inteiros n\~ao negativos da
       equa\c c\~ao \[x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=18,\]
       caso:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $x_i\geq 0$ para todo $i$.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(5-1+18,18)=C(22,18)$.

        \item 2 inc\'ognitas s\~ao nulas, e as outras n\~ao.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(5,2)\times C(3-1+15,15)=C(5,2)\times C(17,15)$.

        \item $x_i\geq i$ para todo $i$.

              {\em Solu\c c\~ao\/}: $C(5-1+3,3)=C(7,3)$.

       \end{list}

\end{enumerate}

\end{document}
