\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{report}
 
\newcounter{conta}
\pagestyle{empty}
\begin{document} \footnotesize

\noindent Gradua\c c\~ao em Matem\'atica Computacional \hfill ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2003 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Segunda Prova/Solu\c c\~ao do professor} \hfill 16/06/2003

\begin{enumerate}
 \item Prove que sim ou que n\~ao: se $A\subseteq C$ e $B\subseteq D$
       ent\~ao $A\cap B\subseteq C\cap D$.

       {\em Solu\c c\~ao:}

       Suponha que $A\subseteq C$ e $B\subseteq D$. Seja $x$ um elemento qualquer de
       $A\cap B$; ent\~ao $x\in A$ e $x\in B$. Como $x\in A$ e $A\subseteq C$, $x\in C$,
       e como $x\in B$ e $B\subseteq D$, $x\in D$. Assim, $x\in C\cap D$. Como $x$ \'e
       um elemento arbitr\'ario de $A\cap B$, segue-se que $A\cap B\subseteq C\cap D$.
       Portanto, se $A\subseteq C$ e $B\subseteq D$ ent\~ao $A\cap B\subseteq C\cap D$.

 \item Prove que $(A\cup B)\backslash C\subseteq(A\backslash B)\cup(B\backslash C)$.

       {\em Solu\c c\~ao:}

       Seja $x$ um elemento arbitr\'ario de $(A\cup B)\backslash C$. Segue-se que
       $x\in A\cup B$ e $x\not\in C$. Considera-se dois casos: \\
       {\em Caso 1\/}: $x\in B$. Como $x\in B$ e $x\not\in C$, $x\in B\backslash C$. \\
       {\em Caso 2\/}: $x\not\in B$. Como $x\in A\cup B$ e $x\not\in B$, $x\in A$. Logo,
                       $x\in A\backslash B$. \\
       Dos casos 1 e 2 deduz-se que $x\in (A\backslash B)\cup(B\backslash C)$. Como $x$
       \'e um elemento arbitr\'ario de $(A\cup B)\backslash C$, conclui-se que
       $(A\cup B)\backslash C\subseteq(A\backslash B)\cup(B\backslash C)$.

 \item Suponha que ${\cal F}$ \'e uma fam\'{\i}lia de conjuntos e que $A\in{\cal F}$.
       Prove que $\cap{\cal F}\subseteq A$.

       {\em Solu\c c\~ao:}

       Seja $x$ um elemento arbitr\'ario de $\cap{\cal F}$. Ent\~ao
       $x\in X$ para todo $X\in {\cal F}$. Como $A\in{\cal F}$, segue-se ent\~ao que
       $x\in A$. Como $x$ \'e um elemento arbitr\'ario de $\cap{\cal F}$, pode-se
       concluir que $\cap{\cal F}\subseteq A$.

 \item Prove que $A\subseteq B$ se, e somente se, ${\cal P}(A)\subseteq {\cal P}(B)$.
       
       {\em Solu\c c\~ao:}

       ($\rightarrow$) Suponha que $A\subseteq B$. Seja $X$ um elemento qualquer de
         ${\cal P}(A)$, ou seja, $X\subseteq A$. Como $X\subseteq A$ e $A\subseteq B$,
         $X\subseteq B$, ou seja, $X\in {\cal P}(B)$. Como $X$ \'e um
         elemento arbitr\'ario de ${\cal P}(A)$, conclui-se que ${\cal P}(A)\subseteq
         {\cal P}(B)$. Portanto, se $A\subseteq B$ ent\~ao ${\cal P}(A)\subseteq {\cal P}(B)$.

       ($\leftarrow$) Suponha que ${\cal P}(A)\subseteq {\cal P}(B)$. Como
         $A\in {\cal P}(A)$ e ${\cal P}(A)\subseteq {\cal P}(B)$, segue-se que
         $A\in {\cal P}(B)$, ou ainda, $A\subseteq B$. Portanto, se
         ${\cal P}(A)\subseteq {\cal P}(B)$ ent\~ao $A\subseteq B$.

 \item Prove que existe um \'unico conjunto $X$ tal que para todo conjunto Y,
       $X\backslash Y=X$.

       {\em Solu\c c\~ao:}

       Inicialmente, observe que $\emptyset\backslash Y=\emptyset$ para qualquer
       conjunto $Y$, pois, se assim n\~ao fosse existiria $x$ tal que
       $x\in \emptyset\backslash Y$, ou seja, $x\in\emptyset$ e $x\not\in Y$, o
       que contradiz o fato de que $\emptyset$ n\~ao tem membros. Resta ent\~ao
       mostrar que todo $X$ tal que $X\backslash Y=X$ para todo $Y$ \'e tal que
       $X=\emptyset$. Para isto, seja um conjunto arbitr\'ario $X$ tal que
       $X\backslash Y=X$ para todo $Y$. Disto segue, em particular, que
       $X\backslash X=X$. Como $X\backslash X=\emptyset$, conclui que $X=\emptyset$.

\end{enumerate}
 
\end{document}
