\documentclass[12pt,a4paper]{book}

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\begin{document}\footnotesize

\noindent Departamento de Ci\^encia da Computa\c c\~ao \hfill ICEx/UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta} \hfill $\mbox{1}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2004 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira \\
{\bf Segunda Prova/Solu\c c\~ao do professor}

\begin{enumerate}
 \item Suponha que $a$ e $b$ s\~ao n\'umeros reais. Prove que se $a<b$ ent\~ao
       $(a+b)/2 < b$.

       {\em Solu\c c\~ao\/}: Suponha que $a<b$. Somando-se $b$ a ambos os lados desta,
       deduz-se que $a+b < 2b$. Dividindo-se ambos os lados desta \'ultima pelo
       n\'umero positivo 2, chega-se \`a conclus\~ao que $(a+b)/2 < b$. Portanto,
       se $a<b$ ent\~ao $(a+b)/2 < b$.

 \item Prove que se $A$ e $B\backslash C$ s\~ao disjuntos, ent\~ao $A\cap B\subseteq C$.

       {\em Solu\c c\~ao\/}: Suponha que $A\cap(B\backslash C)=\emptyset$. Seja
       $x\in A\cap B$; com isto, $x\in A$ e $x\in B$. Como $x\in A$ e $A\cap(B\backslash C)
       =\emptyset$, segue-se que $x\not\in(B\backslash C)$. Desta \'ultima e do fato
       de que $x\in B$, deduz-se que $x\in C$. J\'a que $x$ \'e um elemento 
       arbitr\'ario de $A\cap B$, conclui-se que $A\cap B\subseteq C$. Portanto,
       se $A$ e $B\backslash C$ s\~ao disjuntos, ent\~ao $A\cap B\subseteq C$.

 \item Suponha que ${\cal F}$ e ${\cal G}$ s\~ao fam\'{\i}lias de conjuntos.
       Prove que $(\cup {\cal F})\backslash (\cup {\cal G})\subseteq \cup({\cal F}
       \backslash {\cal G})$.

       {\em Solu\c c\~ao\/}: Seja $x$ um elemento arbitr\'ario de $(\cup {\cal F})
       \backslash (\cup {\cal G})$. Neste caso, $x\in \cup {\cal F}$, mas
       $x\not\in \cup {\cal G}$. J\'a que $x\in \cup {\cal F}$, seja um conjunto
       $A_0$ tal que $A_0\in {\cal F}$ e $x\in A_0$. Como $x\in A_0$ e
       $x\not\in \cup {\cal G}$, segue-se que $A_0\not\in {\cal G}$. Desta \'ultima
       e do fato de que $A_0\in {\cal F}$, deduz-se que $A_0\in {\cal F}\backslash {\cal G}$.
       Considerando esta \'ultima e que $x\in A_0$, tem-se que
       $x\in\cup ({\cal F}\backslash {\cal G})$.
       E como $x$ \'e um elemento arbitr\'ario de $(\cup {\cal F})\backslash (\cup {\cal G})$,
       conclui-se que  $(\cup {\cal F})\backslash (\cup {\cal G})\subseteq \cup({\cal F}
       \backslash {\cal G})$.

 \item Prove que se $(A\cup B)\backslash(A\cap B)\subseteq A$ ent\~ao $B\subseteq A$.

      {\em Solu\c c\~ao\/}: Suponha que $(A\cup B)\backslash(A\cap B)\subseteq A$.
      Seja um elemento arbitr\'ario $x$ tal que $x\in B$. Basta, ent\~ao, mostrar que
      $x\in A$. Suponha, ao contr\'ario, que $x\not\in A$. Desta \'ultima e de $x\in B$,
      segue-se que $x\not\in A\cap B$; e, como $x\in A$, $x\in A\cup B$. Como
      $x\in A\cup B$ e $x\not\in A\cap B$, deduz-se que $x\in(A\cup B)\backslash(A\cap B)$.
      Sabendo-se que $(A\cup B)\backslash(A\cap B)\subseteq A$, conclui-se ent\~ao que
      $x\in A$. Como $x$ \'e um elemento arbitr\'ario
      de $B$, $B\subseteq A$. Logo, se $(A\cup B)\backslash(A\cap B)\subseteq A$ ent\~ao
      $B\subseteq A$.

 \item Suponha que $A$, $B$ e $C$ s\~ao conjuntos, $A$ e $B$ n\~ao s\~ao disjuntos,
       $A$ e $C$ n\~ao s\~ao disjuntos, e $A$ tem um \'unico elemento. Prove
       que $B$ e $C$ n\~ao s\~ao disjuntos.

      {\em Solu\c c\~ao\/}: Como $A$ e $B$ n\~ao s\~ao disjuntos, seja $x_0$ um elemento
      de ambos. E como $A$ e $C$ n\~ao s\~ao disjuntos, seja $y_0$ um elemento de
      ambos, $A$ e $C$. Como $x_0$ e $y_0$ s\~ao elementos de $A$ e $A$ tem um \'unico
      elemento, segue-se que $x_0=y_0$. Como $x_0\in B$ e $x_0=y_0\in C$, conclui-se
      que $B$ e $C$ n\~ao s\~ao disjuntos.

 \item Prove que existe um \'unico n\'umero real $x$ tal que para todo n\'umero real
       $y$, $xy+x-4=4y$.

       Seja $x=4$. Seja $y$ um n\'umero real arbitr\'ario. Ent\~ao, $xy+x-4=4y+4-4=4y$.
       Como $y$ \'e um n\'umero real arbitr\'ario, segue-se que para todo n\'umero real
       $y$, $xy+y-4=4y$, dado que $x$ seja 4.

       Agora basta provar que, para todo n\'umero real $z$, se para todo n\'umero real
       $y$, $zy+z-4=4y$, ent\~ao $z=4$. Assim, seja $z$ um n\'umero real arbitr\'ario.
       Suponha que para todo n\'umero real $y$, $zy+z-4=4y$. Ent\~ao, em particular,
       para $y=0$, $z\times 0+z-4=4\times 0$. Assim, $z-4= 0$ e, portanto, $z=4$. Como $z$ \'e um
       n\'umero real arbitr\'ario,  conclui-se que para todo n\'umero real $z$,
       se para todo n\'umero real $y$, $zy+z-4=4y$, ent\~ao $z=4$.
       
\end{enumerate}

\end{document}
