\documentclass[12pt, a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}

\newcounter{conta}
\begin{document}

\selectlanguage{portuguese}

\noindent Departamento de Ci\^encia da Computa\c c\~ao
\hfill UFMG \\
{\it Matem\'{a}tica Discreta}
\hfill $\mbox{2}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2005 \\
Professor: Newton Jos\'{e} Vieira  \\
{\bf Primeira Prova} \hfill 05/09/2005

\vspace*{2mm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $A\cap B=\{3,12\}$.
        \item $A-B=\{1,35\}$.
        \item $(A\cup B)-C=\{1,12,20,35\}$.
        \item $A\cup(B-C)=\{1,3,12,20,35\}$.
        \item $A\cap B$ e $A-B$ s\~ao disjuntos.
        \item $A\cap B$, $A-B$ e $(A\cup B)-C$ s\~ao subconjuntos de $A\cup(B-C)$, e
              $A-B\subseteq (A\cup B)-C$.
       \end{list}
 \item  \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $R_1$ \'e reflexiva, sim\'etrica e n\~ao transitiva.
        \item $R_2$ \'e reflexiva, n\~ao sim\'etrica e transitiva.
        \item $R_3$ \'e reflexiva, sim\'etrica e transitiva; portanto \'e uma
              rela\c c\~ao de equival\^encia. Ela induz uma classe de equival\^encia
              para cada munic\'{\i}pio, que consta de todas as pessoas que nasceram
              nele.
       \end{list}

 \item \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
        \item $f$ \'e injetora, pois para todo $n_1,n_2\in P$, se $n_1\not= n_2$, ent\~ao
              $2n_1+3\not=2n_2+3$.
        \item $f$ n\~ao \'e sobrejetora, pois n\~ao existe $n\in P$ tal que $f(n)=1$.
       \end{list}

 \item $\sum_{k=1}^{1}k^3=1^3=1=4/4=[1(1+1)/2]^2$. Seja $n\geq 1$ arbitr\'ario e suponha,
       como hip\'otese de indu\c c\~ao, que $\sum_{k=1}^{n}k^3=[n(n+1)/2]^2$. Segue-se
       que:
       \begin{tabbing}
        xxxx\=$\sum_{k=1}^{n+1}k^3$\=$=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx$\=x \kill
            \>$\sum_{k=1}^{n+1}k^3$\>$=\sum_{k=1}^{n}k^3 + (n+1)^3$ \> pela defini\c c\~ao
                                                              de somat\a'orio \\
            \> \>$=[n(n+1)/2]^2 + (n+1)^3$ \> pela hip\a'otese de indu\c c\~ao \\
            \> \>$=[n^2(n+1)^2+4(n+1)^3]/4$  \\
            \> \>$=(n+1)^2(n^2+4n+4)/4$  \\
            \> \>$=(n+1)^2(n+2)^2/4$  \\
            \> \>$=[(n+1)(n+2)/2]^2$.
      \end{tabbing}
      Portanto, pelo princ\'{\i}pio de indu\c c\~ao, 
       $\mbox{para todo } n\geq 1, \,\sum_{k=1}^{n}k^3=[n(n+1)/2]^2$.

 \item Veja, inicialmente, que $2^1+3\times 4^1=2+12=14=a_1$ e que
       $2^2+3\times 4^2=4+48=52=a_2$. Seja $n\geq 2$ arbitr\'ario. Suponha, como
       hip\'otese de indu\c c\~ao, que $a_k=2^k+3\times 4^k$ para $k\leq n$.
       Tem-se que:
       \begin{tabbing}
        xxxx\=$a_{n+1}$\=$=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx$\=x \kill
            \>$a_{n+1}$\>$=6a_n-8a_{n-1}$   \> pela defini\c c\~ao de $a_n$, pois $n\geq 2$ \\
            \> \>$=6(2^n+3\times 4^n)-8(2^{n-1}+3\times 4^{n-1})$ 
                                                     \> pela hip\a'otese de indu\c c\~ao \\
            \> \>$=6\times 2^n-8\times 2^{n-1}+ 18\times 4^n-24\times 4^{n-1}$ \\
            \> \>$=3\times 2^{n+1}-2\times 2^{n+1}+ 18\times 4^n-6\times 4^n$ \\
            \> \>$=2^{n+1}+ 12\times 4^n$ \\
            \> \>$=2^{n+1}+ 3\times 4^{n+1}$. \\
      \end{tabbing}
      Pelo princ\'{\i}pio de indu\c c\~ao, conclui-se que
      para todo $n\geq 1, \,a_n=2^n+3\times 4^n$.

 \item T\'ecnicas que podem ser utilizadas para se provar uma afirmativa da
       forma $\alpha \Rightarrow\beta$: vacuidade, trivial, direta, indireta,
       contradi\c c\~ao.

\end{enumerate}

\end{document}
