\documentclass[12pt]{report}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

%\vspace*{1cm}
\noindent Departamento de Ciência da Computação \hfill ICEx/UFMG \\
\noindent {\it Matemática Discreta} \hfill $\mbox{2}^{\mbox{\underline{o}}}$ semestre de 2013 \\
\noindent Professor: Newton José Vieira \\
\noindent {\bf Primeira Prova} \hfill \textbf{Duração: 1h 30min} \hfill 4/9/2013

\vspace*{3mm}
\noindent \textbf{Valores:} 2 pontos para as questões 1 e 4; 3 pontos para as restantes.
\vspace*{3mm}
\begin{enumerate}
 \item Sobre somatória:
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
			  \item Avalie: $\sum_{k=-3}^{5}(k^2-2)$.
        \item Expresse usando a notação de somatória: $1+8+27+64+\cdots+n^3$.
       \end{list}
 \item Seja um grupo de 20 pessoas, 13 das quais do sexo feminino. Suponha que 8 destas pessoas do sexo
       feminino sejam casadas (não necessarimente com pessoas do grupo). Em cada um dos casos a seguir,
       diga se a situação apontada é possível. Em caso positivo, indique o número de \emph{pessoas do sexo
			 masculino casadas}.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
 %       \item Há 12 pessoas que são casadas ou são do sexo feminino (ou são ambos).
        \item Há 8 pessoas solteiras.
        \item Há 15 pessoas que são do sexo feminino ou são solteiras (ou ambos).
        \item Considerando apenas as pessoas do sexo masculino, o número de casadas é idêntico ao de solteiras.
       \end{list}
       \emph{Dica}: comece fazendo um diagrama mostrando as 4 partes obtidas
			 considerando-se sexo (masculino ou feminino) e situação matrimonial (casado ou solteiro).
 \item Que propriedades, dentre reflexividade, simetria e transitividade, têm as seguintes relações?
       Diga também quais são relações de equivalência.
       \begin{list}{(\alph{conta})}{\usecounter{conta}}
%        \item $R$ sobre $\{1,2,3\}$, $R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$.
        \item $R$ sobre todos os alunos da UFMG, definida por: $x R y \,\Leftrightarrow\, x$ é mais velho que $y$.
        \item $R$ sobre ${\cal P}(X)$ ($X$ \'{e} um conjunto finito qualquer), definida por:  $x R y \,\Leftrightarrow\,$
				      o número de elementos do conjunto $x$ é menor ou igual ao de $y$.
        \item $R$ sobre ${\cal P}(X)$ ($X$ \'{e} um conjunto finito qualquer), definida por:  $x R y \,\Leftrightarrow\,$
				      $x$ e $y$ têm o mesmo número de elementos.
       \end{list}
 \item Em certo torneio de tênis, há uma fase inicial em que cada um dos jogadores joga com todos os outros exatamente
       uma vez. Suponha que cada jogador vence pelo menos uma partida. Mostre que ao final da fase pelo menos dois
			 jogadores terão vencido o mesmo número de partidas.
 \item Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 amarelas e 5 azuis. Se três bolas são retiradas em sequência, qual a probabilidade
       de que a primeira seja amarela, a segunda azul e a terceira verde?
 \item Mostre, usando indução matemática, que a soma dos $n$ primeiros números ímpares é $n^2$, ou seja,
       $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$ para todo $n\geq 1$.

\end{enumerate}

\end{document}
