
\section{Conjuntos}
\hypertarget{teoria-conjuntos-1}{}

\newslide{A NO\c{C}\~AO DE CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{O que t\^{e}m em comum as seguintes entidades?}
       \begin{quote}
        um grupo de pessoas \\
        um rebanho de animais \\
        um buqu\^{e} de flores \\
        uma d\'{u}zia de ovos
       \end{quote}
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{A NO\c{C}\~AO DE CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{O que t\^{e}m em comum as seguintes entidades?}
       \begin{quote}
        um grupo de pessoas \\
        um rebanho de animais \\
        um buqu\^{e} de flores \\
        uma d\'{u}zia de ovos
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Conjunto}
       \begin{quote}
        Cole\c{c}\~{a}o de objetos denominados {\bf elementos} ou {\bf membros} do conjunto.
       \end{quote}
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{A NO\c{C}\~AO DE CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{O que t\^{e}m em comum as seguintes entidades?}
       \begin{quote}
        um grupo de pessoas \\
        um rebanho de animais \\
        um buqu\^{e} de flores \\
        uma d\'{u}zia de ovos
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Conjunto}
       \begin{quote}
        Cole\c{c}\~{a}o n\~ao ordenada de objetos (denominados {\bf elementos} ou {\bf membros} do conjunto).
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Nota\c{c}\~{a}o}
       \begin{quote}
        $x \in A$: $x$ {\bf pertence a} $A$ \\
        $x \not\in A$: $x$ {\bf n\~{a}o pertence a} $A$
       \end{quote}
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{COMO DEFINIR UM CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Listar seus elementos entre chaves.}
       \begin{quote}
        Exemplos: \parbox[t]{15cm}{
                   $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$; \\
                   $V = \{a, e, i, o, u\}$; \\
                   $F = \{\mbox{laranja}, \mbox{banana}, \mbox{abacaxi}\}$.
                  }
       \end{quote}
\end{itemize}


%--------------------------------------------------------------------------------------------
\newslide{COMO DEFINIR UM CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Listar seus elementos entre chaves.}
       \begin{quote}
        Exemplos: \parbox[t]{15cm}{
                   $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$; \\
                   $V = \{a, e, i, o, u\}$; \\
                   $F = \{\mbox{laranja}, \mbox{banana}, \mbox{abacaxi}\}$.
                  }
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Utilizar a forma $A = \{x \,:\, P(x)\}$.}
       \begin{quote}
        Exemplo: $A=\{x \,:\,$ \parbox[t]{9.5cm}{
                        $x$ \'{e} um inteiro positivo,
                              \'{\i}mpar e menor que 10$\}$.
                       }
       \end{quote}
\end{itemize}


%--------------------------------------------------------------------------------------------
\newslide{COMO DEFINIR UM CONJUNTO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Listar seus elementos entre chaves.}
       \begin{quote}
        Exemplos: \parbox[t]{15cm}{
                   $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$; \\
                   $V = \{a, e, i, o, u\}$; \\
                   $F = \{\mbox{laranja}, \mbox{banana}, \mbox{abacaxi}\}$.
                  }
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Utilizar a forma $A = \{x \,:\, P(x)\}$.}
       \begin{quote}
        Exemplo: $A=\{x \,:\,$ \parbox[t]{9.5cm}{
                        $x$ \'{e} um inteiro positivo,
                              \'{\i}mpar e menor que 10$\}$.
                       }
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Fazer uma defini\c{c}\~{a}o recursiva.}
       \begin{quote}
        Exemplo: \parbox[t]{20cm}{
                        (a) $1 \in A$, \\
                        (b) se $x \in A$ e $x+2<10$, ent\~{a}o $x+2\in A$.
                       }  
       \end{quote}
\end{itemize}


%--------------------------------------------------------------------------------------------

%\newslide{TEORIA DOS CONJUNTOS (7)}
%\hypertarget{teoria-conjuntos-7}{}


%\begin{itemize}
% \item Especificar sua fun\c{c}\~{a}o caracter\'{\i}stica.
%       \begin{itemize}
%        \item Exemplo: $\mu_{A}(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
%                                             1 & \mbox{para $x=1, 3, 5, 7, 9$,}
%                                                \\
%                                             0 & \mbox{caso contr\'{a}rio}
%                                            \end{array}
%                                    \right. $ 
%       \end{itemize}
       
%\end{itemize}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------------------------------
\newslide{OBSERVA\c{C}\~OES}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Conjuntos podem ser definidos por meio de opera\c{c}\~{o}es sobre outros conjuntos
       previamente definidos.}
       \begin{quote}
        \item Exemplo: $A=\{1,9\}\cup B$.
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Nem sempre \'{e} poss\'{\i}vel utilizar todos os tipos de defini\c{c}\~{o}es.}
       \begin{quote}
        Exemplo: \parbox[t]{16cm}{$\{ x \,:\, x$ \'{e} um n\'{u}mero real entre 0 e 1$\}$ \\
                                 n\~ao pode ser definido recursivamente.}
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{$P(x)$ n\~{a}o pode ser ``qualquer'' propriedade.}
       \begin{quote}
        Exemplo (paradoxo de Russel): \parbox[t]{10cm}{$S = \{ x \,:\, x\not\in x\}$; \\
                                     $S\in S$?}
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{ALGUNS CONJUNTOS IMPORTANTES} 

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{$\emptyset$}: $\emptyset=\{\}$, o conjunto vazio (observe que $\emptyset \not= \{\emptyset\}$).
 \item \textcolor{black}{N}: n\'{u}meros naturais: $\{0,1,2,3,\ldots\}$.
 \item \textcolor{black}{Z}: n\'{u}meros inteiros: $\{\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$.
 \item \textcolor{black}{Q}: n\'{u}meros racionais: $\{x/y \,:\, x\in\textcolor{black}{Z} \mbox{ e }
        y\in\textcolor{black}{Z} \mbox{ e } y \not=0\}$.
 \item \textcolor{black}{R}: n\'{u}meros reais.
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{OPERA\c{C}\~OES SOBRE CONJUNTOS}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Uni\~ao:}

       \begin{quote}
        $A\cup B=\{x\,:\, x\in A \mbox{ ou }x\in B\}$.

        \ \\
        Diagrama de Venn:
        \begin{center}
         \includegraphics[scale=1.7]{figuras/funiao.pdf}
        \end{center}        
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{OPERA\c{C}\~OES SOBRE CONJUNTOS}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Intersec{c}\~ao:}

       \begin{quote}
        $A\cap B=\{x\,:\, x\in A \mbox{ e }x\in B\}$.

        \ \\
        Diagrama de Venn:
        \begin{center}
         \includegraphics[scale=1.7]{figuras/finter.pdf}
        \end{center}        
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{OPERA\c{C}\~OES SOBRE CONJUNTOS}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Diferen\c{c}a:}

       \begin{quote}
        $A-B=\{x\,:\, x\in A \mbox{ e }x\not\in B\}$.

        \ \\
        Diagrama de Venn:
        \begin{center}
         \includegraphics[scale=1.7]{figuras/fdifer.pdf}
        \end{center}        
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------
\newslide{ALGUMAS PROPRIEDADES DAS OPERA\c{C}\~OES}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Idempot\^{e}ncia:} $A \cup A = A \cap A = A$.
 \item \textcolor{black}{Comutatividade:} $A \cup B = B \cup A$; $A \cap B = B \cap A$. 
 \item \textcolor{black}{Associatividade:} \parbox[t]{20cm}{$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$; \\
       $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$.}
 \item \textcolor{black}{Absor\c{c}\~{a}o:} $A\cup(A\cap B)=A$; $A\cap(A\cup B)=A$.        
 \item \textcolor{black}{Distributividade:} \parbox[t]{20cm}{$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$; \\
       $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.}
 \item \textcolor{black}{De Morgan:} \parbox[t]{20cm}{$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$; \\
       $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$.}
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{MAIS TR\^ES OPERA\c{C}\~OES}


\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Complemento:}
       \begin{quote}
        $\bar{A}=U-A$ ($U$ \'{e} o \textcolor{black}{conjunto universo}).
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Uni\~{a}o generalizada:}
%       \begin{quote}
        \[\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}=A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n\]
%       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Interse\c{c}\~{a}o generalizada:}
%       \begin{quote}
        \[\bigcap_{i=1}^{n}{A_i}=A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_n\]
%       \end{quote}
\end{itemize}
%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{RELA\c{C}\~{O}ES ENTRE CONJUNTOS}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Contin\^encia:} 
       \begin{quote}
        $A$ \textcolor{black}{est\'{a} contido em} $B$ se, e somente se, todo elemento de $A$
        \'{e} elemento de $B$. Ou seja:
        
        \ \\
        $A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \ (x \in A \Rightarrow x \in B)$.
       \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Igualdade:}
        \begin{quote}
         $A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \mbox{ e } B \subseteq A$.
        \end{quote}
 \item \textcolor{black}{Subconjunto pr\'{o}prio:}
       \begin{quote}
        $A \subset B \Leftrightarrow A \subseteq B \mbox{ e } A \not= B$
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{ALGUMAS PROPRIEDADES DA CONTIN\^ENCIA}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Reflexividade:} $A \subseteq A$.
 \item \textcolor{black}{Transitividade:} $A \subseteq B \mbox{ e } B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$.
 \item $A \subset B \Rightarrow A \not= B \mbox{ e } B \not\subseteq A$.
 \item $A \subseteq B \mbox{ e } A \not\subseteq C \Rightarrow B\not\subseteq C$.
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{CONJUNTOS DISJUNTOS}

\begin{itemize}
 \item $A$ e $B$ s\~{a}o \textcolor{black}{disjuntos} se, e somente se, $A \cap B = \emptyset$.
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{PARTI\c{C}\~AO}


Uma \textcolor{black}{parti\c{c}\~{a}o} de um conjunto $A$ \'{e} um conjunto
\[\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}\] tal que:

\begin{itemize}
 \item $X_i \not= \emptyset$, para $1\leq i \leq n$;
 \item $X_i \cap X_j = \emptyset$, para $1 \leq i \not= j \leq n$; e
 \item $\bigcup_{i=1}^{n}X_i=A$.
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{CONJUNTO POT\^ENCIA}

\begin{itemize}
 \item ${\cal P}(A)=\{X \,:\, X\subseteq A\}$.
 \item Exemplo: ${\cal P}(\{a,b\})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.
 \item Quantos elementos tem o conjunto pot\^encia?
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{PRODUTO CARTESIANO}

\begin{itemize}
 \item \textcolor{black}{Par ordenado:} $(x,y)$.
        \begin{quote}
         Propriedade fundamental: $(a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \mbox{ e } b=d$.
        \end{quote} 
 \item \textcolor{black}{Produto cartesiano} de $A$ e $B$: \[A\times B= \{(x,y) \,:\,
          x\in A \mbox{ e } y\in B\}\]
 \item Exemplos: \parbox[t]{20cm}{
                    $\{a,b\}\times\{1,2\}=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}$. \\
                    $\{a,b\}\times\{a,b\}=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$.
                 }
 \item \underline{Nota\c{c}\~{a}o}: $A^2$ denota $A\times A= \{(x,y) \,:\, x,y\in A\}$
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\section{RELA��ES E FUN��ES}
\hypertarget{relacoes-funcoes-1}{}

\newslide{RELA��ES BIN\'ARIAS}

\noindent Uma \textcolor{black}{rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria} sobre $A$ e $B$
 \'{e} um subconjunto de $A\times B$.

\begin{itemize}
 \item Nota\c{c}\~{o}es alternativas para $(x,y)\in R$: $x R y$ e $R(x,y)$.
 \item Exemplo: Rela\c{c}\~{a}o $<$ sobre \textcolor{black}{ N}:
       \[<=\{(0,1),(0,2),\ldots,(1,2),(1,3),\ldots\}\]
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{PROPRIEDADES DE RELA��ES BIN\'ARIAS}
\hypertarget{relacoes-funcoes-2}{}


\noindent {\bf Seja} $R$ uma rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria sobre $A$.
  Ent\~{a}o:

\begin{itemize}
 \item $R$ \'{e} \textcolor{black}{reflexiva} $\Leftrightarrow$ $x R x$ para
       todo $x\in A$.
       \begin{itemize}
        \item Exemplos: $\leq$ e $=$ sobre {\bf N}.
       \end{itemize}
 \item $R$ \'{e} \textcolor{black}{sim\'{e}trica} $\Leftrightarrow$
       $x R y \Rightarrow y R x$ para todo $x,y \in A$.
       \begin{itemize}
        \item Exemplos: $=$ sobre {\bf N}, e {\it irm\~{a}os\/} sobre {\it Pessoas}.
       \end{itemize}
 \item $R$ \'{e} \textcolor{black}{transitiva} $\Leftrightarrow$ $x R y$ e $y R z \Rightarrow
       x R z$ para todo $x,y,z \in A$.
       \begin{itemize}
        \item Exemplos: $<$, $\leq$ e $=$ sobre {\bf N}.
       \end{itemize}
\end{itemize} 

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{RELA��ES DE EQUIVAL\^ENCIA}
\hypertarget{relacoes-funcoes-3}{}


\noindent \textcolor{black}{Rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia:} aquela que \'{e} reflexiva,
 sim\'{e}trica e transitiva.

\begin{itemize}
 \item Exemplo: $R=\{(x,y) \,:\, x,y\in \mbox{ \bf N } \mbox{ e } x+y
       \mbox{ \'{e} par}\}$
\end{itemize}

\vspace*{1mm}
\noindent Seja $R$ uma rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia sobre $A$, e $a\in A$. A
\textcolor{black}{classe de equival\^{e}ncia} de $a$ \'{e}:
 \[E_a=\{b \,:\, b\in A \mbox{ e } a R b\}\mbox{.}\]

\begin{itemize}
 \item Exemplo: para a rela\c{c}\~{a}o
      \[R=\{(x,y) \,:\, x,y\in \mbox{ \bf N } \mbox{ e } x+y \mbox{ \'{e} par}\}\]
      tem-se:
      \[E_n= \left\{ \begin{array}{ll}
                      \{0, 2, 4, 6, \ldots\} & \mbox{se $n$ \'{e} par} \\
                      \{1, 3, 5, 7, \ldots\} & \mbox{se $n$ \'{e} \'{\i}mpar} \\
                     \end{array}
             \right.\]
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{RELA��ES DE EQUIVAL\^ENCIA}
\hypertarget{relacoes-funcoes-5}{}

\noindent \textcolor{black}{Proposi\c{c}\~{a}o:} Seja uma rela\c{c}\~{a}o de
 equival\^{e}ncia $R$ sobre um conjunto n\~{a}o vazio $A$. Ent\~{a}o
 $\{ E_a \,:\, a\in A\}$ \'{e} uma parti\c{c}\~{a}o de $A$. \\ \\

\noindent {\bf Prova:} basta mostrar que:
\begin{itemize}
 \item $E_a \not= \emptyset$ para todo $a \in A$;
 \item $\bigcup_{a\in A}E_a = A$; e
 \item $E_a\cap E_b = \emptyset$ se $E_a \not= E_b$.
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

%\newslide{RELA��ES E FUN��ES (6)}
%\hypertarget{relacoes-funcoes-6}{}


%\noindent {\bf Proposi\c{c}\~{a}o:} A toda parti\c{c}\~{a}o de um conjunto n\~{a}o vazio $A$
%corresponde uma rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia

%\noindent {\bf Prova:} observe a rela\c{c}\~{a}o  $\{(x,y) \,:\, x,y\in A \mbox{ e } y
%          \in E_x\}$.

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{FUN��ES}
\hypertarget{relacoes-funcoes-7}{}


\noindent Uma \textcolor{black}{fun\c{c}\~{a}o} $f$, de $A$ para $B$, \'{e}
 uma rela\c{c}\~{a}o sobre $A$ e $B$ tal que:

\begin{itemize}
 \item para cada $a\in A$ existe exatamente um $b$ tal que $(a,b)\in f$.
 \item Exemplos:
       \begin{itemize}
        \item $\mbox{pai}$ de Pessoas para Pessoas.
        \item $+$ de $\textcolor{black}{R}\times\textcolor{black}{R}$ para
              $\textcolor{black}{R}$.
       \end{itemize}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newslide{FUN��ES}
\hypertarget{relacoes-funcoes-8}{}


\noindent {\bf Nota\c{c}\~{a}o e terminologia:}

\vspace*{5mm}
\begin{itemize}
 \item $f:A\rightarrow B$ significa que $f$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o de $A$ para $B$.
 \item $b = f(a)$ significa $(a,b)\in f$.
 \item Se $b = f(a)$, ent\~{a}o $b$ \'{e} a \textcolor{black}{imagem} de $a$.
 \item Seja $f:A\rightarrow B$. Ent\~{a}o:
       \begin{itemize}
        \item \textcolor{black}{dom\'{\i}nio} de $f$: $A$;
        \item \textcolor{black}{contra-dom\'{\i}nio} de $f$: $B$;
        \item \textcolor{black}{imagem } de $f$: $\{b \,:\,$ existe $a$ tal que $f(a)=b\}$.
       \end{itemize}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------


\newslide{FUN��ES}
\hypertarget{relacoes-funcoes-9}{}


Tr\^es tipos de fun\c{c}\~{o}es:

\begin{itemize}
 \item $f$ \'{e} \textcolor{black}{injetiva} (``one-to-one'') se
       \begin{quote}
        $f(a_1)=b \mbox{ e } f(a_2)=b \Rightarrow a_1=a_2$.
       \end{quote}
 \item $f$ \'{e} \textcolor{black}{sobrejetiva} (``onto'') se
       \begin{quote}
        a imagem de $f$ \'{e} o contra-dom\'{\i}nio de $f$.
       \end{quote}
 \item $f$ \'{e} \textcolor{black}{bijetiva} (\textcolor{black}{correspond\^{e}ncia um-para-um}) se
       \begin{quote}
        \'{e} injetiva e sobrejetiva.
       \end{quote}
\end{itemize}

%--------------------------------------------------------------------------------------------
