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$\sum _{i=1}^{n}a^{i}\protect$

Isso é simplesmente o somatório dos n primeiros elementos elementos de uma progressão geométrica, com $a_{1}=q=a$ . A dedução é trivial e encontra-se em qualquer livro de 2 $\ensuremath{º}$ grau. De qualquer forma, vamos a ela:

$S_{n}=a^{1}+a^{2}\ldots +a^{n}$

$S_{n}=a+aa\ldots +aa^{n-1}$

Introduzindo $a^{n+1}$ em ambos os lados

$S_{n}+a^{n+1}=a+aa^{1}+\ldots +aa^{n-1}+a^{n+1}=a+aa^{1}\ldots +aa^{n-1}+aa^{n}$

$S_{n}+aa^{n}=a+aa\ldots +aa^{n-1}+aa^{n}$

$S_{n}+aa^{n}=a+a\left( a+aa\ldots +aa^{n-1}\right)$

$S_{n}+aa^{n}=a+aS_{n}$

$S_{n}=\frac{a\left( a^{n}-1\right) }{a-1}$

Assim $\sum _{i=1}^{n}a^{i}=\frac{a\left( a^{n}-1\right) }{a-1}$ para $a\neq 1$ .

Para $a=1$ , $\sum _{i=1}^{n}a^{i}=1+\ldots +1=n$

Tiago Macambira 2003-05-23