Usando aproximação por integrais[1, p50]

A margem inferior:

$$\sum ^{n}_{k=m}\frac{1}{k}\geq \int _{m}^{n+1}\frac{dx}{x}=\ln \left( n+1\right)$$

Para margem superior, derivamos a inequação:

$$\sum ^{n}_{k=2}\frac{1}{k}\leq \int _{1}^{n+1}\frac{dx}{x}=\ln n$$

O que dá a margem:

$$\sum ^{n}_{k=1}\frac{1}{k}\leq \ln n+1$$