Página da disciplina Álgebra Linear Computacional, lecionada pelo Prof. Alexandre Salles da Cunha e pela Profa. Ana Paula Couto, para os cursos de Bacharelado em Ciência da Computação, Sistemas de Informação e Matemática Computacional da UFMG.

Nesta página, você encontrará o programa, as notas de aulas, slides empregados no curso e as provas aplicadas ao longo dos últimos semestres. Também é apresentada a organização das aulas expositivas.

1 Programa da disciplina

Erros numéricos, aritmética de ponto flutuante, precisão da máquina. Revisão de Álgebra Linear: Espaços e subsespaços vetoriais, transformações lineares, posto, espaços fundamentais, normas vetoriais, normas matriciais induzidas por normas vetoriais, número de condição. Autovalores e autovetores, multiplicidade geométrica e algébrica. Fatorações matriciais que revelam posto. Fatorações básicas (LU, Cholesky, inner e outer). Sistemas lineares malcondicionados. Matrizes de projeção e refletores, refletores de Householder. Fatoração QR via ortogonalização triangular (Gram-Schmidt e Gram-Schmidt revisado), via triangularização ortogonal (via refletores de Householder), reortogonalização dinâmica. Transformações similares e ortogonalmente equivalentes. Matrizes defectivas, diagonalizáveis e ortogonalmente diagonalizáveis. Algoritmos numericamente estáveis para fatoração espectral e de Schur. Fatoração SVD e aplicações: Aproximação de posto baixo e Principal Component Analysis. Algoritmos estáveis para fatoração SVD.

2 Programação de aulas expositivas

O curso é programado para 30 aulas, das quais 3 são empregadas para realização de atividades avaliativas. O conteúdo teórico da disciplina é apresentado em cerca de 27 aulas expositivas, organizadas conforme a distribuição abaixo indicada.

• Aula 1. Erros numéricos e aritmética de ponto flutuante.
• Aula 2. Fundamentos de Álgebra Linear. Operações com vetores, matrizes, espaços vetoriais, transformações lineares, normais vetoriais.
• Aula 3. Fundamentos de Álgebra Linear. Visões sobre produto de matrizes, espaço coluna e linha.
• Aula 4. Fundamentos de Álgebra Linear. Dependência e independência linear, posto e fatorações que revelam posto.
• Aula 5. Fundamentos de Álgebra Linear. Ortogonalidade, quatro espaços fundamentais, complementos ortogonais, somas diretas.
• Aula 6. Fundamentos de Álgebra Linear. Autovalores, autovetores, auto espaços, matrizes simétricas positivas definidas.
• Aula 7. Fatorações básicas. Panorama das fatorações, sistemas lineares triangulares.
• Aula 8. Fatorações básicas. PA = LU, inner e outer.
• Aula 9. Fatorações básicas. Fatoração de Cholesky, inner e outer.
• Aula 10. Unicidade e existência de soluções de sistemas lineares, à luz dos espaços fundamentais.
• Aula 11. Normais matriciais, número de condição e condicionamento numérico.
• Aula 12. Projetores ortogonais e oblíquios, projeção.
• Aula 13. Projeção em subespaços vetoriais. Sistemas de equações normais.
• Aula 14. Método de Mínimos quadrados como um processo de projeção.
• Aula 15. Método de Mínimos quadrados, solução numérica.
• Aula 16. Fatoração QR - Método Clássico de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
• Aula 17. Fatoração QR. Gram-Schmidt Revisado.
• Aula 18. Fatoração QR com pivoteamento de colunas, reortogonalização dinâmica e automática.
• Aula 19. Refletores de Householder.
  Aulas gravadas e disponibilizadas no youtube:
  • Aspectos bśicos do refletor de Householder.
  • Geometria da reflexão
  • Resumo da geometria
  • Autoespaços e outras propriedades do refletor
  • Exemplo simples
• Aula 20. Fatoração QR via refletores de Householder, com caracterização de posto numérico e pivoteamento de colunas.
• Aula 21. Fatoração SVD. Existência da fatoração, conexão com a fatoração espectral, interpretação geométrica.
• Aula 22. Aproximação de posto baixo e PCA.
  Aulas gravadas e disponibilizadas no youtube:
  • Aula de aproximação de posto baixo
  • Aula de PCA
  • Comentários adicionais
• Aula 23. Matrizes diagonalizáveis e defectivas. Fatoração espectral e de Schur. Aspectos teóricos.
• Aula 24. Método da Potência, Iteração Inversa, Coeficiente de Rayleigh.
• Aula 25. Algoritmos numericamente estáveis para fatoração espectral e de Schur.
  Aulas gravadas e disponibilizadas no youtube:
  • Aula 1 de Cálculo de Autovalores e Autovetores
  • Aula 2 de Cálculo de Autovalores e Autovetores
• Aula 26. Algoritmo QR para fatoração Espectral.
• Aula 27. Algoritmos numericamente estáveis para fatoração SVD.
  Aulas gravadas e disponibilizadas no youtube:
  • Aula 1 de Cálculo de Vetores e Valores Singulares
  • Aula 2 de Cálculo de Vetores e Valores Singulares

3 Referências bibliográficas

A referência bibliográfica principal é o livro:

1. Álgebra Linear Computacional, que reúne as notas de aulas que produzimos ao longo dos últimos semestres.

Adicionalmente, sugerimos as seguintes referências bibliográficas complemetares:

• Para a revisão de Álgebra Linear:
  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 5a. Edição, 2016.
  • Gilbert Strang, Linear Algebra and Learning From Data, 2019.
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, 2014.
• Para a parte verdadeiramente computacional da disciplina:
  • Lloyd N. Trefethen, David III Blau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
  • David S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, Wiley, 2010.

4 Slides

1. Erros numéricos e aritmética de ponto flutuante.
2. Fundamentos de Álgebra Linear
3. Fatorações Básicas (LU, Cholesky)
4. Normas matriciais e condicionamento numéricos
5. Projeção
6. Método de Mínimos Quadrados
7. Fatoração QR
8. Fatoração SVD e aplicações
9. Fatorações Espectral, de Schur, e SVD.

5 Provas e avaliação da disciplina

A avaliação da disciplina consiste em 3 provas discursivas individuais, totalizando os 100 pontos distribuídos. Cada prova é composta de quatro questões. O aluno deve escolher três questões para resolver. Caso resolva as quatro questões, as notas das três melhores serão usadas para a valoração da prova.

As provas aplicadas em semestres anteriores são disponibilizadas abaixo:

1. 2025/2: Prova 1, Prova 2, Prova 3
2. 2025/1: Prova 1, Prova 2, Prova 3
3. 2024/2: Prova 1, Prova 2, Prova 3.
4. 2024/1: Prova 1, Prova 2, Prova 3.
5. 2023/2: Prova 1, Prova 2, Prova 3.
6. 2023/1: Prova 1, Prova 2.
7. 2022/2: Prova 1, Prova 2.